Trigonometria Esempi

$\cos (2 x) = \frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) + 1}$

Passaggio 2.2

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 2.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 2.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Passaggio 2.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.6

Espandi $(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(1 (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.7

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.7.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$(1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.7.1.3

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.7.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.7.1.5

Moltiplica $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 2.7.1.5.1

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.7.1.5.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.7.1.5.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.7.1.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.7.1.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.7.1.5.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.7.1.5.7

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.7.1.5.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.7.1.5.9

Somma $1$ e $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.7.2

Somma $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(1 + 0 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.7.3

Somma $1$ e $0$ .

$(1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.8

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.9

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $1$ .

$\cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.10

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (x)$ .

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Passaggio 2.10.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ nel numeratore.

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.10.2

Elimina il fattore comune.

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.10.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 2.11

Applica l'identità a doppio angolo del coseno.

$\cos (2 x)$

Passaggio 3

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\cos (2 x) = \frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$ è un'identità