Trigonometria Esempi

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)} = \csc^{2} (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)}$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)}{\tan (x)}$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\tan (x)}$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Passaggio 2.7.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Passaggio 2.7.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Passaggio 2.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}$

Passaggio 2.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Passaggio 2.7.6

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)}$

Passaggio 2.7.7

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}$

Passaggio 2.7.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.7.9

Somma $1$ e $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Semplifica il numeratore.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5

Riscrivi $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ come $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Passaggio 6

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)} = \csc^{2} (x)$ è un'identità