Trigonometria Esempi

$\sin (\arcsin (x) + \arccos (x))$

Passaggio 1

Applica le formule di addizione degli angoli.

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Le funzioni di seno e arcoseno sono inverse.

$x \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.2

Le funzioni di coseno e arcocoseno sono inverse.

$x \cdot x + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.4

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\arcsin (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Perciò, $\cos (\arcsin (x))$ è $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} + \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x^{2} + \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.7

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ e l'origine. Poi $\arccos (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Perciò, $\sin (\arccos (x))$ è $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - x^{2}}$

Passaggio 2.1.8

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Passaggio 2.1.9

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.1.10

Moltiplica $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Passaggio 2.1.10.1

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.1.10.2

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}$

Passaggio 2.1.10.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}$

Passaggio 2.1.10.4

Somma $1$ e $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Passaggio 2.1.11

Riscrivi ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ come $(1 + x) (1 - x)$ .

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Passaggio 2.1.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ come ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.1.11.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.1.11.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.1.11.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.1.11.4.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.1.11.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Passaggio 2.1.11.5

Semplifica.

$x^{2} + (1 + x) (1 - x)$

Passaggio 2.1.12

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 1 (1 - x) + x (1 - x)$

Passaggio 2.1.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Passaggio 2.1.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Passaggio 2.1.13

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.1.13.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.13.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$x^{2} + 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Passaggio 2.1.13.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$x^{2} + 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Passaggio 2.1.13.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x^{2} + 1 - x + x + x (- x)$

Passaggio 2.1.13.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} + 1 - x + x - x \cdot x$

Passaggio 2.1.13.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.1.13.1.5.1

Sposta $x$ .

$x^{2} + 1 - x + x - (x \cdot x)$

Passaggio 2.1.13.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 1 - x + x - x^{2}$

Passaggio 2.1.13.2

Somma $- x$ e $x$ .

$x^{2} + 1 + 0 - x^{2}$

Passaggio 2.1.13.3

Somma $1$ e $0$ .

$x^{2} + 1 - x^{2}$

Passaggio 2.2

Combina i termini opposti in $x^{2} + 1 - x^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$1$