Trigonometria Esempi

$\tan (- \frac{5 π}{8})$

Passaggio 1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\tan (\frac{11 π}{8})$

Passaggio 2

Il valore esatto di $\tan (\frac{11 π}{8})$ è $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{11 π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\tan (\frac{\frac{11 π}{4}}{2})$

Passaggio 2.2

Applica la formula di bisezione per la tangente.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{1 + \cos (\frac{11 π}{4})}}$

Passaggio 2.3

Change the $\pm$ to $+$ because tangent is positive in the third quadrant.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{1 + \cos (\frac{11 π}{4})}}$

Passaggio 2.4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{1 + \cos (\frac{11 π}{4})}}$ .

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Passaggio 2.4.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{11 π}{4})}}$

Passaggio 2.4.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{11 π}{4})}}$

Passaggio 2.4.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{11 π}{4})}}$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 2.4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{11 π}{4})}}$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{11 π}{4})}}$

Passaggio 2.4.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{11 π}{4})}}$

Passaggio 2.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{11 π}{4})}}$

Passaggio 2.4.7

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Passaggio 2.4.8

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}}$

Passaggio 2.4.9

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 2.4.10

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 2.4.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 2.4.12

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Passaggio 2.4.13

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.4.13.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Passaggio 2.4.13.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}$

Passaggio 2.4.14

Moltiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ per $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}$

Passaggio 2.4.15

Moltiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ per $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Passaggio 2.4.16

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Passaggio 2.4.17

Semplifica.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 2.4.18

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 2.4.19

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.4.19.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 2.4.19.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 2.4.20

$\sqrt{2}$ e $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Passaggio 2.4.21

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.4.21.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 2.4.21.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 2.4.21.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Passaggio 2.4.21.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.4.21.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Passaggio 2.4.21.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Passaggio 2.4.21.4.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Passaggio 2.4.21.5

Elimina il fattore comune di $2 \sqrt{2} + 2$ e $2$ .

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Passaggio 2.4.21.5.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}$

Passaggio 2.4.21.5.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}$

Passaggio 2.4.21.5.3

Scomponi $2$ da $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}$

Passaggio 2.4.21.5.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.4.21.5.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}$

Passaggio 2.4.21.5.4.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}$

Passaggio 2.4.21.5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}$

Passaggio 2.4.21.5.4.4

Dividi $\sqrt{2} + 1$ per $1$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}$

Passaggio 2.4.22

Somma $2$ e $1$ .

$\sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}$

Passaggio 2.4.23

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Forma decimale:

$2.41421356 \dots$