Trigonometria Esempi

$\cos^{2} (x) + \csc^{2} (x) - 1$

Passaggio 1

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.1

Sposta $- 1$ .

$\cos^{2} (x) - 1 + \csc^{2} (x)$

Passaggio 1.2

Riordina $\cos^{2} (x)$ e $- 1$ .

$- 1 + \cos^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Passaggio 1.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Passaggio 1.4

Scomponi $- 1$ da $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \csc^{2} (x)$

Passaggio 1.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \csc^{2} (x)$

Passaggio 1.6

Riscrivi $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ come $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) + \csc^{2} (x)$

Passaggio 2

Applica l'identità pitagorica.

$- \sin^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$- \sin^{2} (x) + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Passaggio 3.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \sin^{2} (x) + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \sin^{2} (x) + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \sin^{2} (x) + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- \sin^{2} (x) + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Passaggio 5

Riordina $- \sin^{2} (x)$ e ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Passaggio 6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{1}{\sin (x)}$ e $b = \sin (x)$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + \sin (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

Passaggio 7

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$(\csc (x) + \sin (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

Passaggio 8

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$(\csc (x) + \sin (x)) (\csc (x) - \sin (x))$

Passaggio 9

Espandi $(\csc (x) + \sin (x)) (\csc (x) - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\csc (x) - \sin (x))$

Passaggio 9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\csc (x) - \sin (x))$

Passaggio 9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10

Semplifica i termini.

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Passaggio 10.1

Combina i termini opposti in $\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Passaggio 10.1.1

Riordina i fattori nei termini di $\csc (x) (- \sin (x))$ e $\sin (x) \csc (x)$ .

$\csc (x) \csc (x) - \csc (x) \sin (x) + \csc (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10.1.2

Somma $- \csc (x) \sin (x)$ e $\csc (x) \sin (x)$ .

$\csc (x) \csc (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10.1.3

Somma $\csc (x) \csc (x)$ e $0$ .

$\csc (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $\csc (x) \csc (x)$ .

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Passaggio 10.2.1.1

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\csc^{1} (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10.2.1.2

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10.2.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\csc (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\csc^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\csc^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 10.2.3.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\csc^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Passaggio 10.2.3.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\csc^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Passaggio 10.2.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\csc^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 10.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\csc^{2} (x) - \sin^{2} (x)$