Trigonometria Esempi

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) = - 1$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \arctan (- 1)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4}$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai $\frac{π}{6}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.2

Per scrivere $- \frac{π}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.3

Per scrivere $- \frac{π}{6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $\frac{π}{6}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{12}$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x}{2} = \frac{- π \cdot 3 - π \cdot 2}{12}$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - π \cdot 2}{12}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - 2 π}{12}$

Passaggio 3.6.3

Sottrai $2 π$ da $- 3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 5 π}{12}$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x}{2} = - \frac{5 π}{12}$

Passaggio 4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{12})$

Passaggio 5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{12})$

Passaggio 5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (- \frac{5 π}{12})$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica $2 (- \frac{5 π}{12})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5 π}{12}$ nel numeratore.

$x = 2 \frac{- 5 π}{12}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $12$ .

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 (6)}$

Passaggio 5.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 5 π}{6}$

Passaggio 5.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5 π}{6}$

Passaggio 6

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 7.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 7.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Sottrai $\frac{π}{6}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.3.1.2

Per scrivere $\frac{3 π}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.3.1.3

Per scrivere $- \frac{π}{6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 7.3.1.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.4.1

Moltiplica $\frac{3 π}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 7.3.1.4.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 7.3.1.4.3

Moltiplica $\frac{π}{6}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2}$

Passaggio 7.3.1.4.4

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{12}$

Passaggio 7.3.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3 - π \cdot 2}{12}$

Passaggio 7.3.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.6.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - π \cdot 2}{12}$

Passaggio 7.3.1.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - 2 π}{12}$

Passaggio 7.3.1.6.3

Sottrai $2 π$ da $9 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{12}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{12}$

Passaggio 7.3.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{12}$

Passaggio 7.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \frac{7 π}{12}$

Passaggio 7.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$x = 2 \frac{7 π}{2 (6)}$

Passaggio 7.3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{7 π}{2 \cdot 6}$

Passaggio 7.3.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 8

Trova il periodo di $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ .

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Passaggio 8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 8.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 8.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$π \cdot 2$

Passaggio 8.5

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$2 π$

Passaggio 9

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 9.1

Somma $2 π$ a $- \frac{5 π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{5 π}{6} + 2 π$

Passaggio 9.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Passaggio 9.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Passaggio 9.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Passaggio 9.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.4.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 π - 5 π}{6}$

Passaggio 9.4.2

Sottrai $5 π$ da $12 π$ .

$\frac{7 π}{6}$

Passaggio 9.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 10

Il periodo della funzione $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11

Consolida le risposte.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$