Trigonometria Esempi

$\sec^{2} (x) + 2 \tan (x) = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\sec^{2} (x)$ con $1 + \tan^{2} (x)$ in base all'identità $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + 2 \tan (x) = 0$

Passaggio 2

Riordina il polinomio.

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + 1 = 0$

Passaggio 3

Sostituisci $\tan (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

Passaggio 4

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Passaggio 4.3

Riscrivi il polinomio.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 5

Poni $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 6

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 7

Sostituisci $u$ per $\tan (x)$ .

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 8

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 9

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 10

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 11

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 11.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 11.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 12

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 12.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 12.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 12.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 12.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 13

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 13.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 13.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 13.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 13.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 13.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 13.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 13.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 13.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 14

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Consolida le risposte.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$