Trigonometria Esempi

$\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\cos^{2} (2 x)$ con $1 - \sin^{2} (2 x)$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \sin^{2} (2 x)) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Passaggio 2

Sottrai $\sin^{2} (2 x)$ da $- \sin^{2} (2 x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (2 x) = 0$

Passaggio 3

Riordina il polinomio.

$- 2 \sin^{2} (2 x) + 1 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$

Passaggio 5

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin^{2} (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $\sin^{2} (2 x)$ per $1$ .

$\sin^{2} (2 x) = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin^{2} (2 x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 7.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 7.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 7.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 7.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 7.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 7.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 7.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 7.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 8

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 8.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 8.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 9

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ in $\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 10.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Passaggio 10.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{4}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 10.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 10.3.3.2

Moltiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Passaggio 10.3.3.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Passaggio 10.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{4}$

Passaggio 10.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 10.5.1.2

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 10.5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 10.5.1.4

Sottrai $π$ da $π \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1.4.1

Riordina $π$ e $4$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 10.5.1.4.2

Sottrai $π$ da $4 \cdot π$ .

$2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$

Passaggio 10.5.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

Passaggio 10.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

Passaggio 10.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

Passaggio 10.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 10.5.2.3.2

Moltiplica $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{3 π}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

Passaggio 10.5.2.3.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Passaggio 10.6

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 10.6.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 10.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 10.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 10.6.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 10.7

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{3 π}{8} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ in $\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 11.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ è $- \frac{π}{4}$ .

$2 x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 11.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{π}{4}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 11.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 11.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 11.3.3.2

Moltiplica $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 11.3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Passaggio 11.4

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Passaggio 11.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Passaggio 11.5.2

L'angolo risultante di $\frac{5 π}{4}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$2 x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 11.5.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 π}{4}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Passaggio 11.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Passaggio 11.5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Passaggio 11.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 11.5.3.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Passaggio 11.5.3.3.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Passaggio 11.6

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 11.6.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 11.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 11.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 11.6.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 11.7

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{8}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{8} + π$

Passaggio 11.7.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

Passaggio 11.7.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.3.1

$π$ e $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

Passaggio 11.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

Passaggio 11.7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.4.1

Sposta $8$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

Passaggio 11.7.4.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$\frac{7 π}{8}$

Passaggio 11.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{7 π}{8}$

Passaggio 11.8

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{5 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{3 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ , per qualsiasi intero $n$