Trigonometria Esempi

$\log_{5} (x + 1) - \log_{5} (x - 1) = \log_{5} (x)$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \log_{5} (x)$

Passaggio 2

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$\frac{x + 1}{x - 1} = x$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x - 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Rimuovi le parentesi.

$x - 1, 1$

Passaggio 3.1.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x - 1$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $x - 1$ ciascun termine in $\frac{x + 1}{x - 1} = x$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x + 1}{x - 1} = x$ per $x - 1$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} (x - 1) = x (x - 1)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x + 1}{x - 1} (x - 1) = x (x - 1)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x + 1 = x (x - 1)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 3.2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1$

Passaggio 3.2.3.1.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.3.1.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x + 1 = x^{2} + x \cdot - 1$

Passaggio 3.2.3.1.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$x + 1 = x^{2} - 1 \cdot x$

Passaggio 3.2.3.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - x$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$x^{2} - x = x + 1$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - x - x = 1$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$x^{2} - 2 x = 1$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 3.3.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.3.5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.3.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.6.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.6.1.3

Somma $4$ e $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.6.1.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 3.3.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.6.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{5} (x + 1) - \log_{5} (x - 1) = \log_{5} (x)$ vera.

$x = 1 + \sqrt{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 1 + \sqrt{2}$

Forma decimale:

$x = 2.41421356 \dots$