Trigonometria Esempi

$\cos (\frac{11 π}{12}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{11 π}{12})$ è $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \cos (\frac{π}{12}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.1.2

Dividi $\frac{π}{12}$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$- \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.1.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.1.8

Semplifica $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.1.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.1.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.1.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.1.8.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.1.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (- \cos (\frac{π}{3})) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.4

Moltiplica $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \frac{1}{2} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \cdot 2} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.4.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{11 π}{12})$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.5.2

Dividi $\frac{π}{12}$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.5.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.5.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.5.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.5.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.5.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.5.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.5.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.5.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.5.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.5.8.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.5.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.5.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.8

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.8.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 1.9

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 1.10

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 1.11

Moltiplica $- \sqrt{2} \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{3 \cdot 2}}{8}$

Passaggio 1.11.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{6}}{8}$

Passaggio 1.12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Moltiplica $6$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{18} - \sqrt{6}}{8}$

Passaggio 1.12.2

Riscrivi $18$ come $3^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.2.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{9 (2)} - \sqrt{6}}{8}$

Passaggio 1.12.2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} - \sqrt{6}}{8}$

Passaggio 1.12.3

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}$

Passaggio 2.2

Sottrai $\sqrt{6}$ da $\sqrt{6}$ .

$\frac{0 + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 2.4

Somma $\sqrt{2}$ e $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

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Passaggio 2.5.1

Scomponi $4$ da $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Passaggio 2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimale:

$0.70710678 \dots$