Trigonometria Esempi

$\tan^{2} (x) + \sec (x) - 1 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\tan^{2} (x)$ con $\sec^{2} (x) - 1$ in base all'identità $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) - 1) + \sec (x) - 1 = 0$

Passaggio 2

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$\sec^{2} (x) + \sec (x) - 2 = 0$

Passaggio 3

Sostituisci $\sec (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} + u - 2 = 0$

Passaggio 4

Scomponi $u^{2} + u - 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Passaggio 6

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 1$

Passaggio 7

Imposta $u + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $u + 2$ uguale a $0$ .

$u + 2 = 0$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 2$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 1) (u + 2) = 0$ vera.

$u = 1, - 2$

Passaggio 9

Sostituisci $u$ per $\sec (x)$ .

$\sec (x) = 1, - 2$

Passaggio 10

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sec (x) = 1$

$\sec (x) = - 2$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = 1$ .

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Passaggio 11.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (1)$

Passaggio 11.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 11.2.1

Il valore esatto di $arcsec (1)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 11.3

La funzione secante è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 11.4

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 11.5

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

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Passaggio 11.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 11.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 11.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 11.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 11.6

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = - 2$ .

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Passaggio 12.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (- 2)$

Passaggio 12.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 12.2.1

Il valore esatto di $arcsec (- 2)$ è $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 12.3

La funzione secante è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 12.4

Semplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Passaggio 12.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 12.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 12.4.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 12.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Passaggio 12.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.4.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Passaggio 12.4.3.2

Sottrai $2 π$ da $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 12.5

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

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Passaggio 12.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 12.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 12.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 12.6

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Consolida le risposte.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$