Trigonometria Esempi

$\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

Passaggio 1

Fattorizza $\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\tan^{4} (x)$ come ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

${(\tan^{2} (x))}^{2} - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

Passaggio 1.2

Sia $u = \tan^{2} (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\tan^{2} (x)$ con $u$ .

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi $u^{2} - 20 u + 64$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $64$ e la cui somma è $- 20$ .

$- 16, - 4$

Passaggio 1.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 16) (u - 4) = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan^{2} (x)$ .

$(\tan^{2} (x) - 16) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Passaggio 1.5

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$(\tan^{2} (x) - 4^{2}) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Passaggio 1.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \tan (x)$ e $b = 4$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Passaggio 1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 2^{2}) = 0$

Passaggio 1.8

Scomponi.

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Passaggio 1.8.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \tan (x)$ e $b = 2$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) ((\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2)) = 0$

Passaggio 1.8.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\tan (x) + 4 = 0$

$\tan (x) - 4 = 0$

$\tan (x) + 2 = 0$

$\tan (x) - 2 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\tan (x) + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\tan (x) + 4$ uguale a $0$ .

$\tan (x) + 4 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\tan (x) + 4 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = - 4$

Passaggio 3.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 4)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Calcola $\arctan (- 4)$ .

$x = - 1.32581766$

Passaggio 3.2.4

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - 1.32581766 - (3.14159265)$

Passaggio 3.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Somma $2 π$ a $- 1.32581766 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.32581766 - (3.14159265) + 2 π$

Passaggio 3.2.5.2

L'angolo risultante di $1.81577498$ è positivo e coterminale con $- 1.32581766 - (3.14159265)$ .

$x = 1.81577498$

Passaggio 3.2.6

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 3.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 3.2.6.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 3.2.7

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Somma $π$ a $- 1.32581766$ per trovare l'angolo positivo.

$- 1.32581766 + π$

Passaggio 3.2.7.2

Sostituisci con l'approssimazione decimale.

$3.14159265 - 1.32581766$

Passaggio 3.2.7.3

Sottrai $1.32581766$ da $3.14159265$ .

$1.81577498$

Passaggio 3.2.7.4

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = 1.81577498$

Passaggio 3.2.8

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\tan (x) - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $\tan (x) - 4$ uguale a $0$ .

$\tan (x) - 4 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\tan (x) - 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = 4$

Passaggio 4.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (4)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Calcola $\arctan (4)$ .

$x = 1.32581766$

Passaggio 4.2.4

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

Passaggio 4.2.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 + 1.32581766$

Passaggio 4.2.5.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

Passaggio 4.2.5.3

Somma $3.14159265$ e $1.32581766$ .

$x = 4.46741031$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 4.2.7

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Imposta $\tan (x) + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\tan (x) + 2$ uguale a $0$ .

$\tan (x) + 2 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\tan (x) + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = - 2$

Passaggio 5.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 2)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Calcola $\arctan (- 2)$ .

$x = - 1.10714871$

Passaggio 5.2.4

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - 1.10714871 - (3.14159265)$

Passaggio 5.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Somma $2 π$ a $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.10714871 - (3.14159265) + 2 π$

Passaggio 5.2.5.2

L'angolo risultante di $2.03444393$ è positivo e coterminale con $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = 2.03444393$

Passaggio 5.2.6

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 5.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 5.2.6.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 5.2.7

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Somma $π$ a $- 1.10714871$ per trovare l'angolo positivo.

$- 1.10714871 + π$

Passaggio 5.2.7.2

Sostituisci con l'approssimazione decimale.

$3.14159265 - 1.10714871$

Passaggio 5.2.7.3

Sottrai $1.10714871$ da $3.14159265$ .

$2.03444393$

Passaggio 5.2.7.4

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = 2.03444393$

Passaggio 5.2.8

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $\tan (x) - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\tan (x) - 2$ uguale a $0$ .

$\tan (x) - 2 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\tan (x) - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = 2$

Passaggio 6.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (2)$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Calcola $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

Passaggio 6.2.4

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Passaggio 6.2.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

Passaggio 6.2.5.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Passaggio 6.2.5.3

Somma $3.14159265$ e $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

Passaggio 6.2.6

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 6.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 6.2.6.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 6.2.7

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$ vera.

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Consolida le risposte.

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Passaggio 8.1

Combina $1.81577498 + π n$ e $1.81577498 + π n$ in $1.81577498 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8.2

Combina $1.32581766 + π n$ e $4.46741031 + π n$ in $1.32581766 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8.3

Combina $2.03444393 + π n$ e $2.03444393 + π n$ in $2.03444393 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8.4

Combina $1.10714871 + π n$ e $4.24874137 + π n$ in $1.10714871 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n$ , per qualsiasi intero $n$