Trigonometria Esempi

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

Passaggio 2

Scomponi.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\cos^{4} (x)$ come ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (x))}^{2} - \sin^{4} (x)$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\sin^{4} (x)$ come ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (x))}^{2} - {(\sin^{2} (x))}^{2}$

Passaggio 2.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos^{2} (x)$ e $b = \sin^{2} (x)$ .

$(\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Rimetti in ordine i termini.

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Passaggio 2.4.2

Applica l'identità pitagorica.

$1 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ per $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 2.4.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 3

Applica la proprietà distributiva.

$(\cos (x) + \sin (x)) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

${\cos (x)}^{1} \cos (x) + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Passaggio 4.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

${\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Passaggio 4.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Passaggio 4.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $\sin (x) (- \sin (x))$ .

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Passaggio 4.1.4.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x))$

Passaggio 4.1.4.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})$

Passaggio 4.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 4.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - {\sin (x)}^{2}$

Passaggio 4.2

Somma $\cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) (- \sin (x))$ .

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Passaggio 4.2.1

Riordina $\cos (x)$ e $- 1$ .

${\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot \cos (x) \sin (x) - {\sin (x)}^{2}$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $\cos (x) \sin (x)$ da $\cos (x) \sin (x)$ .

${\cos (x)}^{2} + 0 - {\sin (x)}^{2}$

Passaggio 4.3

Somma ${\cos (x)}^{2}$ e $0$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$1 - \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 6

Sottrai ${\sin (x)}^{2}$ da $- {\sin (x)}^{2}$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x)$

Passaggio 7

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x)$ è un'identità