Trigonometria Esempi

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = 4 \cot (x) \csc (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 2

Sottrai le frazioni.

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ per $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ per $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Espandi $(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (1 + \cos (x)) + \cos (x) (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 3.1.2.1.4.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1} \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.2.1.4.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.2.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.2.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $\cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + (- 1 \cdot 1 - - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + (- 1 - - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $- - \cos (x)$ .

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Passaggio 3.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + (- 1 + 1 \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.5.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + (- 1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.6

Espandi $(- 1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.7

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.7.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 - 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.7.1.2

Moltiplica $- 1 (- \cos (x))$ .

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Passaggio 3.1.7.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.7.1.2.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.7.1.3

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.7.1.4

Moltiplica $\cos (x) (- \cos (x))$ .

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Passaggio 3.1.7.1.4.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.7.1.4.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.7.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.7.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.7.2

Somma $\cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + 2 \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + 0 + 2 \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.3

Somma $2 \cos (x)$ e $0$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.4

Sottrai ${\cos (x)}^{2}$ da ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{2 \cos (x) + 2 \cos (x) + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.5

Somma $2 \cos (x)$ e $2 \cos (x)$ .

$\frac{4 \cos (x) + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.6

Somma $4 \cos (x)$ e $0$ .

$\frac{4 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Espandi $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Passaggio 4.2

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{4 \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{4 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 6

Riscrivi $\frac{4 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ come $4 \cot (x) \csc (x)$ .

$4 \cot (x) \csc (x)$

Passaggio 7

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = 4 \cot (x) \csc (x)$ è un'identità