Trigonometria Esempi

$\sec (\frac{- 11 π}{12})$

Passaggio 1

Sostituisci $\sec (\frac{- 11 π}{12})$ con un'espressione equivalente $\frac{1}{\cos (\frac{- 11 π}{12})}$ usando le identità fondamentali.

$\frac{1}{\cos (\frac{- 11 π}{12})}$

Passaggio 2

Utilizza una formula di somma o differenza sul denominatore.

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Passaggio 2.1

Per prima cosa, dividi l'angolo in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti. In questo caso, $\frac{- 11 π}{12}$ può essere diviso in $\frac{π}{3} - \frac{5 π}{4}$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3} - \frac{5 π}{4})}$

Passaggio 2.2

Utilizza la formula di sottrazione del coseno per semplificare l'espressione. La formula stabilisce che $\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})}$

Passaggio 2.3

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})}$

Passaggio 2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.4.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})}$

Passaggio 2.4.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4})) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})}$

Passaggio 2.4.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})}$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Passaggio 2.4.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})}$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})}$

Passaggio 2.4.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{5 π}{4})}$

Passaggio 2.4.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{4}))}$

Passaggio 2.4.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})}$

Passaggio 2.4.8

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Passaggio 2.4.8.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.4.8.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.4.8.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.4.8.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ per $1$ .

$\frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ per $\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$\frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}} \cdot \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ per $\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$\frac{4 (- \sqrt{2} + \sqrt{6})}{(- \sqrt{2} - \sqrt{6}) (- \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Passaggio 3.6

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{4 (- \sqrt{2} + \sqrt{6})}{{\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{12} + \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

$\frac{4 (- \sqrt{2} + \sqrt{6})}{- 4}$

Passaggio 3.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.8.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$

Passaggio 3.8.2

Riscrivi $- 1 \cdot (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$ come $- (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

$- (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$

Passaggio 3.9

Applica la proprietà distributiva.

$- - \sqrt{2} - \sqrt{6}$

Passaggio 3.10

Moltiplica $- - \sqrt{2}$ .

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Passaggio 3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \sqrt{2} - \sqrt{6}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\sqrt{2} - \sqrt{6}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\sqrt{2} - \sqrt{6}$

Forma decimale:

$- 1.03527618 \dots$