Trigonometria Esempi

$\sin (3 θ) = - 1$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$3 θ = \arcsin (- 1)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$3 θ = - \frac{π}{2}$

Passaggio 3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 θ = - \frac{π}{2}$ e semplifica.

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Passaggio 3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 θ = - \frac{π}{2}$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{π}{2}$ .

$θ = - \frac{π}{3 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Passaggio 4

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$3 θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$3 θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$3 θ = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 θ = \frac{3 π}{2}$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 θ = \frac{3 π}{2}$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$θ = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \frac{π}{2}$

Passaggio 6

Trova il periodo di $\sin (3 θ)$ .

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Passaggio 6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 7

Somma $\frac{2 π}{3}$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 7.1

Somma $\frac{2 π}{3}$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.2

Per scrivere $\frac{2 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{6}$

Passaggio 7.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{6}$

Passaggio 7.5.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{6}$

Passaggio 7.6

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

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Passaggio 7.6.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$\frac{3 (π)}{6}$

Passaggio 7.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.6.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Passaggio 7.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Passaggio 7.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{2}$

Passaggio 7.7

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = \frac{π}{2}$

Passaggio 8

Il periodo della funzione $\sin (3 θ)$ è $\frac{2 π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{2 π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Consolida le risposte.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$