Trigonometria Esempi

$\tan (105)$

Passaggio 1

Per convertire i gradi in radianti, moltiplicali per $\frac{π}{180 °}$ dal momento che un cerchio completo è composto da $360 °$ o $2 π$ radianti.

Passaggio 2

Il valore esatto di $\tan (105)$ è $- 2 - \sqrt{3}$ .

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Passaggio 2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$- \tan (75) \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.2

Dividi $75$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$- \tan (30 + 45) \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.3

Applica le formule di addizione degli angoli.

$- \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.4

Il valore esatto di $\tan (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.5

Il valore esatto di $\tan (45)$ è $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.6

Il valore esatto di $\tan (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.7

Il valore esatto di $\tan (45)$ è $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8

Semplifica $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Passaggio 2.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Passaggio 2.8.1.1

Moltiplica $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.1.2

Combina.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3}) + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.8.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3}) + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.8.5.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.5.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.8.5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ nel numeratore.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (\frac{- \sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.5.3.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (\frac{- \sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ per $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.7

Moltiplica $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ per $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.8

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.9

Semplifica.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.8.10.1

Riordina i termini.

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.10.2

Eleva $3 + \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.10.3

Eleva $3 + \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.10.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.10.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.11

Riscrivi ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ come $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.12

Espandi $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.8.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.13

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.8.13.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.8.13.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.13.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.13.1.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.13.1.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.13.1.5

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.13.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.13.2

Somma $9$ e $3$ .

$- \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.13.3

Somma $3 \sqrt{3}$ e $3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.14

Elimina il fattore comune di $12 + 6 \sqrt{3}$ e $6$ .

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Passaggio 2.8.14.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.14.2

Scomponi $6$ da $6 \sqrt{3}$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.14.3

Scomponi $6$ da $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.14.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.8.14.4.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.14.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.14.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.14.4.4

Dividi $2 + \sqrt{3}$ per $1$ .

$- (2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.15

Applica la proprietà distributiva.

$(- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 2.8.16

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(- 2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 \frac{π}{180} - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) (\frac{π}{180}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 4.2

Scomponi $2$ da $180$ .

$2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 90}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 90}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 4.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \frac{π}{90} - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radianti

Passaggio 5

$\frac{π}{180}$ e $\sqrt{3}$ .

$- 1 \frac{π}{90} - \frac{π \sqrt{3}}{180}$ radianti

Passaggio 6

Riscrivi $- 1 \frac{π}{90}$ come $- \frac{π}{90}$ .

$- \frac{π}{90} - \frac{π \sqrt{3}}{180}$ radianti