Trigonometria Esempi

$\arctan (\tan (\frac{11 π}{12}))$

Passaggio 1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$\arctan (- \tan (\frac{π}{12}))$

Passaggio 2

Dividi $\frac{π}{12}$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\arctan (- \tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}))$

Passaggio 3

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$\arctan (- \frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})})$

Passaggio 4

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\arctan (- \frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})})$

Passaggio 5

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\arctan (- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})})$

Passaggio 6

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\arctan (- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})})$

Passaggio 7

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\arctan (- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

Passaggio 8

Semplifica $- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\arctan (- (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}))$

Passaggio 8.1.2

Combina.

$\arctan (- \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})})$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\arctan (- \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})$

Passaggio 8.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 8.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ nel numeratore.

$\arctan (- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune.

$\arctan (- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})$

Passaggio 8.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\arctan (- \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})$

Passaggio 8.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\arctan (- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

Passaggio 8.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.5.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\arctan (- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

Passaggio 8.5.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 8.5.2.1

Scomponi $3$ da $3 \cdot 1$ .

$\arctan (- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}})$

Passaggio 8.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\arctan (- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

Passaggio 8.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\arctan (- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Passaggio 8.6

Moltiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ per $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\arctan (- (\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}))$

Passaggio 8.7

Moltiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ per $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\arctan (- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})$

Passaggio 8.8

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\arctan (- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})$

Passaggio 8.9

Semplifica.

$\arctan (- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})$

Passaggio 8.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.10.1

Eleva $3 - \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\arctan (- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6})$

Passaggio 8.10.2

Eleva $3 - \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\arctan (- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6})$

Passaggio 8.10.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\arctan (- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6})$

Passaggio 8.10.4

Somma $1$ e $1$ .

$\arctan (- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6})$

Passaggio 8.11

Riscrivi ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ come $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\arctan (- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})$

Passaggio 8.12

Espandi $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 8.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\arctan (- \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})$

Passaggio 8.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$\arctan (- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})$

Passaggio 8.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$\arctan (- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})$

Passaggio 8.13

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 8.13.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.13.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\arctan (- \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})$

Passaggio 8.13.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})$

Passaggio 8.13.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})$

Passaggio 8.13.1.4

Moltiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Passaggio 8.13.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})$

Passaggio 8.13.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})$

Passaggio 8.13.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6})$

Passaggio 8.13.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6})$

Passaggio 8.13.1.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6})$

Passaggio 8.13.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6})$

Passaggio 8.13.1.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 8.13.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6})$

Passaggio 8.13.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6})$

Passaggio 8.13.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})$

Passaggio 8.13.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.13.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})$

Passaggio 8.13.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6})$

Passaggio 8.13.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6})$

Passaggio 8.13.2

Somma $9$ e $3$ .

$\arctan (- \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6})$

Passaggio 8.13.3

Sottrai $3 \sqrt{3}$ da $- 3 \sqrt{3}$ .

$\arctan (- \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6})$

Passaggio 8.14

Elimina il fattore comune di $12 - 6 \sqrt{3}$ e $6$ .

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Passaggio 8.14.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$\arctan (- \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6})$

Passaggio 8.14.2

Scomponi $6$ da $- 6 \sqrt{3}$ .

$\arctan (- \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6})$

Passaggio 8.14.3

Scomponi $6$ da $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$\arctan (- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6})$

Passaggio 8.14.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.14.4.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$\arctan (- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)})$

Passaggio 8.14.4.2

Elimina il fattore comune.

$\arctan (- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1})$

Passaggio 8.14.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\arctan (- \frac{2 - \sqrt{3}}{1})$

Passaggio 8.14.4.4

Dividi $2 - \sqrt{3}$ per $1$ .

$\arctan (- (2 - \sqrt{3}))$

Passaggio 8.15

Applica la proprietà distributiva.

$\arctan (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3})$

Passaggio 8.16

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\arctan (- 2 - - \sqrt{3})$

Passaggio 8.17

Moltiplica $- - \sqrt{3}$ .

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Passaggio 8.17.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\arctan (- 2 + 1 \sqrt{3})$

Passaggio 8.17.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\arctan (- 2 + \sqrt{3})$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\arctan (- 2 + \sqrt{3})$

Forma decimale:

$- 0.26179938 \dots$