Trigonometria Esempi

$\sin (x) + \cos (x) = \sqrt{2}$

Passaggio 1

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ come $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.2

Espandi $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 2.3.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.2

Riordina i fattori di $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.3

Somma $\cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.4

Sposta $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.5

Applica l'identità pitagorica.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.6.1

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.6.2

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.6.3

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$1 + \sin (2 x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \sin (2 x) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \sin (2 x) = 2^{1}$

Passaggio 3.5

Calcola l'esponente.

$1 + \sin (2 x) = 2$

Passaggio 4

Sposta tutti i termini non contenenti $\sin (2 x)$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (2 x) = 2 - 1$

Passaggio 4.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$\sin (2 x) = 1$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (1)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 7

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 7.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 8

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 9

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.1

Semplifica.

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Passaggio 9.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 9.1.2

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 9.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 9.1.4

Sottrai $π$ da $π \cdot 2$ .

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Passaggio 9.1.4.1

Riordina $π$ e $2$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 9.1.4.2

Sottrai $π$ da $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 9.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 9.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 9.2.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 9.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 10

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

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Passaggio 10.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 10.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 10.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 10.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 11

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Verifica ciascuna delle soluzioni sostituendole in $\sin (x) + \cos (x) = \sqrt{2}$ e risolvendo.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$