Trigonometria Esempi

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) = 8 \tan (x)$

Passaggio 1

Sottrai $8 \tan (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) - 8 \tan (x) = 0$

Passaggio 2

Scomponi $4 \tan (x)$ da $4 \sec^{2} (x) \tan (x) - 8 \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $4 \tan (x)$ da $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) - 8 \tan (x) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $4 \tan (x)$ da $- 8 \tan (x)$ .

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) \cdot - 2 = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi $4 \tan (x)$ da $4 \tan (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) \cdot - 2$ .

$4 \tan (x) (\sec^{2} (x) - 2) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\sec^{2} (x) - 2 = 0$

Passaggio 4

Imposta $\tan (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $\tan (x)$ uguale a $0$ .

$\tan (x) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\tan (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (0)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.2.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + 0$

Passaggio 4.2.4

Somma $π$ e $0$ .

$x = π$

Passaggio 4.2.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 4.2.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 4.2.6

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π n, π + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Imposta $\sec^{2} (x) - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\sec^{2} (x) - 2$ uguale a $0$ .

$\sec^{2} (x) - 2 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\sec^{2} (x) - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sec^{2} (x) = 2$

Passaggio 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 5.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Passaggio 5.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Passaggio 5.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 5.2.4

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Passaggio 5.2.5

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Passaggio 5.2.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Il valore esatto di $arcsec (\sqrt{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.5.3

La funzione secante è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.5.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.5.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.4.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.5.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 5.2.5.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.4.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 5.2.5.4.3.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 5.2.5.5

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.5.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.5.6

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2.6

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Passaggio 5.2.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.1

Il valore esatto di $arcsec (- \sqrt{2})$ è $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.6.3

La funzione secante è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.6.4

Semplifica $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.6.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.4.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.6.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Passaggio 5.2.6.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.4.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Passaggio 5.2.6.4.3.2

Sottrai $3 π$ da $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 5.2.6.5

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.6.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.6.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.6.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.6.6

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2.7

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2.8

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 \tan (x) (\sec^{2} (x) - 2) = 0$ vera.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Combina $π n$ e $π + π n$ in $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$