Trigonometria Esempi

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) = \sqrt{6}$

Passaggio 1

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2} = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2}$ come $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x))$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.2

Espandi $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Aggiungi le parentesi.

$4 \cos^{2} (x) + 2 (\cos (x) (2 \sin (x))) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.3

Riordina $\cos (x)$ e $2 \sin (x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.4

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.5

Aggiungi le parentesi.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 (\sin (x) (2 \cos (x))) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.6

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.7

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.8

Moltiplica $2 \sin (x) (2 \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.8.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 \sin (x) \sin (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.8.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.8.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.8.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 {\sin (x)}^{1 + 1} = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.3.2

Somma $2 \sin (2 x)$ e $2 \sin (2 x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 4 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.4

Sposta $4 \sin^{2} (x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.5

Scomponi $4$ da $4 \cos^{2} (x)$ .

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.6

Scomponi $4$ da $4 \sin^{2} (x)$ .

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.7

Scomponi $4$ da $4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))$ .

$4 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.8

Rimetti in ordine i termini.

$4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.9

Applica l'identità pitagorica.

$4 \cdot 1 + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 2.10

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Passaggio 3

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{1}$

Passaggio 3.5

Calcola l'esponente.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6$

Passaggio 4

Sposta tutti i termini non contenenti $\sin (2 x)$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 \sin (2 x) = 6 - 4$

Passaggio 4.2

Sottrai $4$ da $6$ .

$4 \sin (2 x) = 2$

Passaggio 5

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \sin (2 x) = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \sin (2 x) = 2$ .

$\frac{4 \sin (2 x)}{4} = \frac{2}{4}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sin (2 x)}{4} = \frac{2}{4}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $\sin (2 x)$ per $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{2}{4}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\sin (2 x) = \frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 5.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\sin (2 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (2 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Passaggio 8

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Passaggio 9

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 10.1.2

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 10.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 10.1.4

Sottrai $π$ da $π \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.4.1

Riordina $π$ e $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 10.1.4.2

Sottrai $π$ da $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Passaggio 10.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 10.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 10.2.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Passaggio 11

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

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Passaggio 11.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 11.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 11.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 11.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 11.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 12

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Escludi le soluzioni che non rendono $2 \cos (x) + 2 \sin (x) = \sqrt{6}$ vera.

$x = \frac{π}{12} + 2 π n, \frac{5 π}{12} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$