Trigonometria Esempi

$\cos (x) - \sin (x) = 1$

Passaggio 1

Utilizza l'identità per risolvere l'equazione. In questa identità, $θ$ rappresenta l'angolo creato tracciando il punto $(a, b)$ su un grafico e di conseguenza può essere trovato mediante $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ dove $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ e $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Passaggio 2

Imposta l'equazione per trovare il valore di $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{1}{- 1})$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $θ$ usando l'inverso della tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Passaggio 3.2

Il valore esatto di $\tan^{-1} (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Passaggio 4

Risolvi per trovare il valore di $R$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$R = \sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$R = \sqrt{1 + 1}$

Passaggio 4.3

Somma $1$ e $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$(\sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

Passaggio 6

Dividi per $\sqrt{2}$ ciascun termine in $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Dividi per $\sqrt{2}$ ciascun termine in $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $\sin (x - \frac{π}{4})$ per $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 6.3.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 6.3.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 6.3.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 6.3.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 6.3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 6.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 6.3.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 8

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.1

Il valore esatto di $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$

Passaggio 9

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.1

Somma $\frac{π}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 9.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π + π}{4}$

Passaggio 9.3

Somma $π$ e $π$ .

$x = \frac{2 π}{4}$

Passaggio 9.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

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Passaggio 9.4.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{4}$

Passaggio 9.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 10

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{4}$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Semplifica $π - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 11.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 11.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 11.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 11.1.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 11.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Somma $\frac{π}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 11.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{3 π + π}{4}$

Passaggio 11.2.3

Somma $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{4}$

Passaggio 11.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{4 π}{4}$

Passaggio 11.2.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$x = π$

Passaggio 12

Trova il periodo di $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

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Passaggio 12.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 12.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 12.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13

Il periodo della funzione $\sin (x - \frac{π}{4})$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Escludi le soluzioni che non rendono $\cos (x) - \sin (x) = 1$ vera.

Nessuna soluzione