Trigonometria Esempi

$\sin (3 x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$

Passaggio 2

Scomponi $\sin (x)$ da $3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $\sin (x)$ da $3 \sin (x)$ .

$\sin (x) \cdot 3 - 4 \sin^{3} (x)$

Passaggio 2.2

Scomponi $\sin (x)$ da $- 4 \sin^{3} (x)$ .

$\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 4 \sin^{2} (x))$

Passaggio 2.3

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 4 \sin^{2} (x))$ .

$\sin (x) (3 - 4 \sin^{2} (x))$

Passaggio 3

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$\sin (x) (3 - 4 (1 - \cos^{2} (x)))$

Passaggio 4

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) (3 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)))$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

$\sin (x) (3 - 4 + 4 \cos^{2} (x))$

Passaggio 6

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) \cdot - 4 + \sin (x) (4 \cos^{2} (x))$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Sposta $3$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$3 \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot - 4 + \sin (x) (4 {\cos (x)}^{2})$

Passaggio 7.1.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$3 \sin (x) - 4 \cdot \sin (x) + \sin (x) (4 {\cos (x)}^{2})$

Passaggio 7.1.3

Sposta $4$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$3 \sin (x) - 4 \sin (x) + 4 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$

Passaggio 7.2

Sottrai $4 \sin (x)$ da $3 \sin (x)$ .

$- \sin (x) + 4 \sin (x) \cos^{2} (x)$

Passaggio 8

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 - \sin^{2} (x))$

Passaggio 9

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1^{2} - \sin^{2} (x))$

Passaggio 9.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$- \sin (x) + 4 \sin (x) ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 9.3

Rimuovi le parentesi.

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

Passaggio 9.4

Scomponi $\sin (x)$ da $- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Scomponi $\sin (x)$ da $- \sin (x)$ .

$\sin (x) \cdot - 1 + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

Passaggio 9.4.2

Scomponi $\sin (x)$ da $4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) ((4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 9.4.3

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) ((4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$ .

$\sin (x) (- 1 + (4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 9.5

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) (- 1 + (4 \cdot 1 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 9.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\sin (x) (- 1 + (4 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 9.7

Espandi $(4 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) (- 1 + 4 (1 - \sin (x)) + 4 \sin (x) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 9.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 9.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 9.8

Combina i termini opposti in $4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.8.1

Riordina i fattori nei termini di $4 (- \sin (x))$ e $4 \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 4 \sin (x) + 1 \cdot 4 \sin (x) + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 9.8.2

Somma $- 1 \cdot 4 \sin (x)$ e $1 \cdot 4 \sin (x)$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 0 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 9.8.3

Somma $4 \cdot 1$ e $0$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 9.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.9.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 9.9.2

Moltiplica $4 \sin (x) (- \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 \sin (x) \sin (x))$

Passaggio 9.9.2.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

Passaggio 9.9.2.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

Passaggio 9.9.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 {\sin (x)}^{1 + 1})$

Passaggio 9.9.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 \sin^{2} (x))$

Passaggio 9.10

Scomponi $4$ da $4$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 (1) - 4 \sin^{2} (x))$

Passaggio 9.11

Scomponi $4$ da $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 (1) + 4 (- \sin^{2} (x)))$

Passaggio 9.12

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (x))$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 (1 - \sin^{2} (x)))$

Passaggio 9.13

Applica l'identità pitagorica.

$\sin (x) (- 1 + 4 \cos^{2} (x))$

Passaggio 9.14

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.14.1

Riscrivi $- 1 + 4 \cos^{2} (x)$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.14.1.1

Riscrivi $4 \cos^{2} (x)$ come ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$\sin (x) (- 1 + {(2 \cos (x))}^{2})$

Passaggio 9.14.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\sin (x) (- 1^{2} + {(2 \cos (x))}^{2})$

Passaggio 9.14.1.3

Riordina $- 1^{2}$ e ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$\sin (x) ({(2 \cos (x))}^{2} - 1^{2})$

Passaggio 9.14.1.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 \cos (x)$ e $b = 1$ .

$\sin (x) ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1))$

Passaggio 9.14.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\sin (x) (2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1)$

Passaggio 10

Applica la proprietà distributiva.

$(\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1) (2 \cos (x) - 1)$

Passaggio 11

Semplifica ciascun termine.

$(2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) (2 \cos (x) - 1)$

Passaggio 12

Applica la proprietà distributiva.

$(2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sin (x) \cos (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $2 \sin (x) \cos (x) (2 \cos (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Passaggio 13.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \sin (x) ({\cos (x)}^{1} \cos (x)) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Passaggio 13.1.2.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \sin (x) ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Passaggio 13.1.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Passaggio 13.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Passaggio 13.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Passaggio 13.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 1 + \sin (x) \cdot - 1$

Passaggio 13.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1$

Passaggio 13.1.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot \sin (x)$

Passaggio 13.1.7

Riscrivi $- 1 \sin (x)$ come $- \sin (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Passaggio 13.2

Sottrai $2 \sin (x) \cos (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 0 - \sin (x)$

Passaggio 13.3

Somma $4 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$ e $0$ .

$4 \sin (x) \cos^{2} (x) - \sin (x)$

Passaggio 14

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$4 \sin (x) (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x)$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- {\sin (x)}^{2}) - \sin (x)$

Passaggio 15.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 \sin (x) + 4 \sin (x) (- {\sin (x)}^{2}) - \sin (x)$

Passaggio 15.1.3

Moltiplica $\sin (x)$ per ${\sin (x)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.3.1

Sposta ${\sin (x)}^{2}$ .

$4 \sin (x) + 4 ({\sin (x)}^{2} \sin (x)) \cdot - 1 - \sin (x)$

Passaggio 15.1.3.2

Moltiplica ${\sin (x)}^{2}$ per $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.3.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \sin (x) + 4 ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{1}) \cdot - 1 - \sin (x)$

Passaggio 15.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \sin (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1 - \sin (x)$

Passaggio 15.1.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$4 \sin (x) + 4 {\sin (x)}^{3} \cdot - 1 - \sin (x)$

Passaggio 15.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$4 \sin (x) - 4 {\sin (x)}^{3} - \sin (x)$

Passaggio 15.2

Sottrai $\sin (x)$ da $4 \sin (x)$ .

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)$

Passaggio 16

Applica l'identità ad angolo triplo del seno.

$\sin (3 x)$

Passaggio 17

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\sin (3 x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$ è un'identità