Trigonometria Esempi

$y = \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = \frac{π}{4}$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $1$

Passaggio 3

Trova il periodo di $\cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{\frac{π}{4}}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $\frac{π}{4} \cdot 2$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

Sfasamento: $\frac{π}{2 (2)} \cdot 2$

Passaggio 4.4.2

Elimina il fattore comune.

Sfasamento: $\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Passaggio 4.4.3

Riscrivi l'espressione.

Sfasamento: $\frac{π}{2}$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $1$

Periodo: $4 π$

Sfasamento: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ a destra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (\frac{\frac{π}{2}}{2} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.1.2.1.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.1.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.1.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (\frac{π - π}{4})$

Passaggio 6.1.2.2.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = \cos (\frac{0}{4})$

Passaggio 6.1.2.2.3

Dividi $0$ per $4$ .

$f (\frac{π}{2}) = \cos (0)$

Passaggio 6.1.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Passaggio 6.1.2.4

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{2} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.2.2.1.2

Moltiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{3 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{3 π}{4} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{3 π - π}{4})$

Passaggio 6.2.2.2.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{2 π}{4})$

Passaggio 6.2.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{2 (π)}{4})$

Passaggio 6.2.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Passaggio 6.2.2.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{5 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{\frac{5 π}{2}}{2} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.3.2.1.2

Moltiplica $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{5 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{5 π}{4} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{5 π - π}{4})$

Passaggio 6.3.2.2.2

Sottrai $π$ da $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{4 π}{4})$

Passaggio 6.3.2.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{4 π}{4})$

Passaggio 6.3.2.2.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (π)$

Passaggio 6.3.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{5 π}{2}) = - \cos (0)$

Passaggio 6.3.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 6.3.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 1$

Passaggio 6.3.2.6

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{7 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{\frac{7 π}{2}}{2} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.4.2.1.2

Moltiplica $\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.2.1

Moltiplica $\frac{7 π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{7 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.4.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{7 π}{4} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.4.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{7 π - π}{4})$

Passaggio 6.4.2.2.2

Sottrai $π$ da $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{6 π}{4})$

Passaggio 6.4.2.2.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

Passaggio 6.4.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Passaggio 6.4.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Passaggio 6.4.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 6.4.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 0$

Passaggio 6.4.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{9 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{9 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{2} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.5.2.1.2

Moltiplica $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.2.1

Moltiplica $\frac{9 π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{9 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.5.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{9 π}{4} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{9 π - π}{4})$

Passaggio 6.5.2.2.2

Sottrai $π$ da $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{8 π}{4})$

Passaggio 6.5.2.2.3

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.3.1

Scomponi $4$ da $8 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4})$

Passaggio 6.5.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

Passaggio 6.5.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

Passaggio 6.5.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{2 π}{1})$

Passaggio 6.5.2.2.3.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (2 π)$

Passaggio 6.5.2.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (0)$

Passaggio 6.5.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = 1$

Passaggio 6.5.2.5

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{2} & 1 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ \frac{5 π}{2} & - 1 \\ \frac{7 π}{2} & 0 \\ \frac{9 π}{2} & 1 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $1$

Periodo: $4 π$

Sfasamento: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ a destra)

Traslazione verticale: no

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{2} & 1 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ \frac{5 π}{2} & - 1 \\ \frac{7 π}{2} & 0 \\ \frac{9 π}{2} & 1 \end{array}$

Passaggio 8