Trigonometria Esempi

$\sin (2 x)$

Passaggio 1

Per espandere $\sin (2 x)$ un buon metodo è la formula di de Moivre $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Quando $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Passaggio 2

Espandi il lato destro di $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ usando il teorema binomiale.

Espandi: ${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{2}$

Passaggio 3

Riscrivi ${(\cos (x) + i \sin (x))}^{2}$ come $(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$ .

$(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$

Passaggio 4

Espandi $(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) + i \sin (x)) + i \sin (x) (\cos (x) + i \sin (x))$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) (\cos (x) + i \sin (x))$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Passaggio 5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Passaggio 5.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Passaggio 5.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Passaggio 5.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $i \sin (x) (i \sin (x))$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1} i \sin (x) \sin (x)$

Passaggio 5.1.3.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1} i^{1} \sin (x) \sin (x)$

Passaggio 5.1.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1 + 1} \sin (x) \sin (x)$

Passaggio 5.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} \sin (x) \sin (x)$

Passaggio 5.1.3.5

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Passaggio 5.1.3.6

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Passaggio 5.1.3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} {\sin (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 5.1.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) - 1 \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.1.5

Riscrivi $- 1 \sin^{2} (x)$ come $- \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.2

Riordina i fattori di $i \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.3

Somma $i \cos (x) \sin (x)$ e $i \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) + 2 i \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 6

Sposta $- \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 i \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 7

Applica l'identità a doppio angolo del coseno.

$\cos (2 x) + 2 i \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1

Aggiungi le parentesi.

$\cos (2 x) + 2 i (\cos (x) \sin (x))$

Passaggio 8.2

Riordina $2 i$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (2 x) + \cos (x) \sin (x) (2 i)$

Passaggio 8.3

Aggiungi le parentesi.

$\cos (2 x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) i$

Passaggio 8.4

Riordina $\cos (x)$ e $\sin (x) \cdot 2$ .

$\cos (2 x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) i$

Passaggio 8.5

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$\cos (2 x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) i$

Passaggio 8.6

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) i$

Passaggio 9

Riordina i fattori in $\cos (2 x) + \sin (2 x) i$ .

$\cos (2 x) + i \sin (2 x)$

Passaggio 10

Estrai le espressioni con la parte immaginaria, che sono uguali a $\sin (2 x)$ . Rimuovi il numero immaginario $i$ .

$\sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x)$