Trigonometria Esempi

1 - \sqrt{3} i

$1 - \sqrt{3} i$

Passaggio 1

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove

| z |

$| z |$ è il modulo e

θ

$θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 2

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove

z = a + b i

$z = a + b i$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di

a = 1

$a = 1$ e

b = - 1 \sqrt{3}

$b = - 1 \sqrt{3}$ .

| z | = \sqrt{{(- 1 \sqrt{3})}^{2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{{(- 1 \sqrt{3})}^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 4

Trova

| z |

$| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riscrivi

- 1 \sqrt{3}

$- 1 \sqrt{3}$ come

- \sqrt{3}

$- \sqrt{3}$ .

| z | = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Applica la regola del prodotto a

- \sqrt{3}

$- \sqrt{3}$ .

| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ per

1

$1$ .

| z | = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}$

| z | = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ come

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ come

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

| z | = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1^{2}}$

Passaggio 4.2.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 1^{2}}$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 1^{2}}$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{3 + 1^{2}}$

Passaggio 4.2.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{3 + 1^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| z | = \sqrt{3 + 1}$

Passaggio 4.3.2

Somma

$3$ e

$1$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi

$4$ come

$2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 4.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 2$

Passaggio 5

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \sqrt{3}}{1})$

Passaggio 6

Poiché l'inverso della tangente di

$\frac{- 1 \sqrt{3}}{1}$ produce un angolo nel quarto quadrante, il valore dell'angolo è

$- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

Passaggio 7

Sostituisci i valori di

$θ = - \frac{π}{3}$ e

$| z | = 2$ .

$2 (\cos (- \frac{π}{3}) + i \sin (- \frac{π}{3}))$