Trigonometria Esempi

${(1 + i)}^{5}$

Passaggio 1

Usa il teorema binomiale.

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Passaggio 2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 5 \cdot 1 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$1 + 5 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Passaggio 2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 5 i + 10 \cdot 1 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $10$ per $1$ .

$1 + 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Passaggio 2.1.7

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Passaggio 2.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Passaggio 2.1.9

Moltiplica $10$ per $1$ .

$1 + 5 i - 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Passaggio 2.1.10

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$1 + 5 i - 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Passaggio 2.1.11

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 5 i - 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Passaggio 2.1.12

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$1 + 5 i - 10 + 10 (- i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Passaggio 2.1.13

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Passaggio 2.1.14

Moltiplica $5$ per $1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 i^{4} + i^{5}$

Passaggio 2.1.15

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.15.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

Passaggio 2.1.15.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}$

Passaggio 2.1.15.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 + i^{5}$

Passaggio 2.1.16

Moltiplica $5$ per $1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{5}$

Passaggio 2.1.17

Metti in evidenza $i^{4}$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{4} i$

Passaggio 2.1.18

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.18.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(i^{2})}^{2} i$

Passaggio 2.1.18.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(- 1)}^{2} i$

Passaggio 2.1.18.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + 1 i$

Passaggio 2.1.19

Moltiplica $i$ per $1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i$

Passaggio 2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $10$ da $1$ .

$- 9 + 5 i - 10 i + 5 + i$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 9$ e $5$ .

$- 4 + 5 i - 10 i + i$

Passaggio 2.2.3

Sottrai $10 i$ da $5 i$ .

$- 4 - 5 i + i$

Passaggio 2.2.4

Somma $- 5 i$ e $i$ .

$- 4 - 4 i$

Passaggio 3

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 4

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi di $a = - 4$ e $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 6

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

Passaggio 6.3

Somma $16$ e $16$ .

$| z | = \sqrt{32}$

Passaggio 6.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Passaggio 6.5

Estrai i termini dal radicale.

$| z | = 4 \sqrt{2}$

Passaggio 7

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{- 4})$

Passaggio 8

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{- 4}{- 4}$ produce un angolo nel terzo quadrante, il valore dell'angolo è $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 9

Sostituisci i valori di $θ = \frac{5 π}{4}$ e $| z | = 4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$