Trigonometria Esempi

\frac{sin (x)}{1 - cos (x)} + \frac{sin (x)}{1 + cos (x)} = 2 csc (x)

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

\frac{sin (x)}{1 - cos (x)} + \frac{sin (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 2

Somma le frazioni.

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Passaggio 2.1

Per scrivere

\frac{sin (x)}{1 - cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{1 + cos (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

\frac{sin (x)}{1 - cos (x)} \cdot \frac{1 + cos (x)}{1 + cos (x)} + \frac{sin (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 2.2

Per scrivere

\frac{sin (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{1 - cos (x)}{1 - cos (x)}

$\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

\frac{sin (x)}{1 - cos (x)} \cdot \frac{1 + cos (x)}{1 + cos (x)} + \frac{sin (x)}{1 + cos (x)} \cdot \frac{1 - cos (x)}{1 - cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di

(1 - cos (x)) (1 + cos (x))

$(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica

\frac{sin (x)}{1 - cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ per

\frac{1 + cos (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

\frac{sin (x) (1 + cos (x))}{(1 - cos (x)) (1 + cos (x))} + \frac{sin (x)}{1 + cos (x)} \cdot \frac{1 - cos (x)}{1 - cos (x)}

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica

\frac{sin (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ per

\frac{1 - cos (x)}{1 - cos (x)}

$\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

\frac{sin (x) (1 + cos (x))}{(1 - cos (x)) (1 + cos (x))} + \frac{sin (x) (1 - cos (x))}{(1 + cos (x)) (1 - cos (x))}

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di

(1 - cos (x)) (1 + cos (x))

$(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

\frac{sin (x) (1 + cos (x))}{(1 + cos (x)) (1 - cos (x))} + \frac{sin (x) (1 - cos (x))}{(1 + cos (x)) (1 - cos (x))}

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

\frac{sin (x) (1 + cos (x))}{(1 + cos (x)) (1 - cos (x))} + \frac{sin (x) (1 - cos (x))}{(1 + cos (x)) (1 - cos (x))}

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\frac{sin (x) (1 + cos (x)) + sin (x) (1 - cos (x))}{(1 + cos (x)) (1 - cos (x))}

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica

$\sin (x)$ per

$1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica

$\sin (x)$ per

$1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.2

Somma

$\sin (x)$ e

$\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.3

Somma

$\sin (x) \cos (x)$ e

$\sin (x) (- \cos (x))$ .

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Passaggio 3.3.1

Riordina

$\sin (x)$ e

$- 1$ .

$\frac{2 \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.3.2

Sottrai

$\sin (x) \cos (x)$ da

$\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.4

Somma

$2 \sin (x)$ e

$0$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Espandi

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \sin (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Passaggio 4.2

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{2 \sin (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{2 \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 6

Elimina il fattore comune di

$\sin (x)$ e

${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{2}{\sin (x)}$

Passaggio 7

Riscrivi

$\frac{2}{\sin (x)}$ come

$2 \csc (x)$ .

$2 \csc (x)$

Passaggio 8

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$ è un'identità