Trigonometria Esempi

tan (\frac{π}{12})

$\tan (\frac{π}{12})$

Passaggio 1

Per prima cosa, dividi l'angolo in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti. In questo caso,

\frac{π}{12}

$\frac{π}{12}$ può essere diviso in

\frac{π}{3} - \frac{π}{4}

$\frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ .

tan (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})

$\tan (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})$

Passaggio 2

Utilizza la formula di sottrazione della tangente per semplificare l'espressione. La formula stabilisce che

tan (A - B) = \frac{tan (A) - tan (B)}{1 + tan (A) tan (B)}

$\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

\frac{tan (\frac{π}{3}) - tan (\frac{π}{4})}{1 + tan (\frac{π}{3}) tan (\frac{π}{4})}

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Passaggio 3

Rimuovi le parentesi.

\frac{tan (\frac{π}{3}) - tan (\frac{π}{4})}{1 + tan (\frac{π}{3}) tan (\frac{π}{4})}

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il valore esatto di

tan (\frac{π}{3})

$\tan (\frac{π}{3})$ è

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ .

\frac{\sqrt{3} - tan (\frac{π}{4})}{1 + tan (\frac{π}{3}) tan (\frac{π}{4})}

$\frac{\sqrt{3} - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Passaggio 4.2

Il valore esatto di

tan (\frac{π}{4})

$\tan (\frac{π}{4})$ è

1

$1$ .

\frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}{1 + tan (\frac{π}{3}) tan (\frac{π}{4})}

$\frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Passaggio 4.3

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + tan (\frac{π}{3}) tan (\frac{π}{4})}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + tan (\frac{π}{3}) tan (\frac{π}{4})}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Passaggio 5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il valore esatto di

tan (\frac{π}{3})

$\tan (\frac{π}{3})$ è

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ .

\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} tan (\frac{π}{4})}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Passaggio 5.2

Il valore esatto di

tan (\frac{π}{4})

$\tan (\frac{π}{4})$ è

1

$1$ .

\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

Passaggio 5.3

Moltiplica

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ per

1

$1$ .

\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

Passaggio 6

Moltiplica

\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ per

\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}

$\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ per

$\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Passaggio 7.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi

$- 1$ da

$\sqrt{3}$ .

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 8.2

Riscrivi

$- 1$ come

$- 1 (1)$ .

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 8.3

Scomponi

$- 1$ da

$- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 8.4

Riordina i termini.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 8.5

Eleva

$1 - \sqrt{3}$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 8.6

Eleva

$1 - \sqrt{3}$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1})}{- 2}$

Passaggio 8.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Passaggio 8.8

Somma

$1$ e

$1$ .

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Passaggio 9

Riscrivi

${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ come

$(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 10

Espandi

$(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 10.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 11

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.1.1

Moltiplica

$1$ per

$1$ .

$\frac{- 1 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 11.1.2

Moltiplica

$- \sqrt{3}$ per

$1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 11.1.3

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica

$- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.4.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 11.1.4.2

Moltiplica

$\sqrt{3}$ per

$1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 11.1.4.3

Eleva

$\sqrt{3}$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 11.1.4.4

Eleva

$\sqrt{3}$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 2}$

Passaggio 11.1.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}{- 2}$

Passaggio 11.1.4.6

Somma

$1$ e

$1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}{- 2}$

Passaggio 11.1.5

Riscrivi

${\sqrt{3}}^{2}$ come

$3$ .

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Passaggio 11.1.5.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{3}$ come

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 2}$

Passaggio 11.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 2}$

Passaggio 11.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Passaggio 11.1.5.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

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Passaggio 11.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Passaggio 11.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1})}{- 2}$

Passaggio 11.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3)}{- 2}$

Passaggio 11.2

Somma

$1$ e

$3$ .

$\frac{- 1 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 11.3

Sottrai

$\sqrt{3}$ da

$- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 (4 - 2 \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 12

Elimina il fattore comune di

$4 - 2 \sqrt{3}$ e

$- 2$ .

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Passaggio 12.1

Scomponi

$2$ da

$- 1 (4 - 2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 12.2

Sposta quello negativo dal denominatore di

$\frac{- 1 (2 - \sqrt{3})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Passaggio 13

Riscrivi

$- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ come

$- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ .

$- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Passaggio 14

Applica la proprietà distributiva.

$- (- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Passaggio 15

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$- (- 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Passaggio 16

Moltiplica

$- 1 (- \sqrt{3})$ .

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Passaggio 16.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$- (- 2 + 1 \sqrt{3})$

Passaggio 16.2

Moltiplica

$\sqrt{3}$ per

$1$ .

$- (- 2 + \sqrt{3})$

Passaggio 17

Applica la proprietà distributiva.

$- - 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 18

Moltiplica

$- 1$ per

$- 2$ .

$2 - \sqrt{3}$

Passaggio 19

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 - \sqrt{3}$

Forma decimale:

$0.26794919 \dots$