Trigonometria Esempi

tan (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{4})

$\tan (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{4})$

Passaggio 1

Per scrivere

\frac{5 π}{3}

$\frac{5 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

tan (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})

$\tan (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Passaggio 2

Per scrivere

- \frac{π}{4}

$- \frac{π}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

tan (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})

$\tan (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di

12

$12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica

\frac{5 π}{3}

$\frac{5 π}{3}$ per

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

tan (\frac{5 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})

$\tan (\frac{5 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 3.2

Moltiplica

3

$3$ per

4

$4$ .

tan (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})

$\tan (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 3.3

Moltiplica

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ per

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

tan (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3})

$\tan (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Passaggio 3.4

Moltiplica

4

$4$ per

3

$3$ .

tan (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12})

$\tan (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12})$

tan (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12})

$\tan (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12})$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

tan (\frac{5 π \cdot 4 - π \cdot 3}{12})

$\tan (\frac{5 π \cdot 4 - π \cdot 3}{12})$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica

4

$4$ per

5

$5$ .

tan (\frac{20 π - π \cdot 3}{12})

$\tan (\frac{20 π - π \cdot 3}{12})$

Passaggio 5.2

Moltiplica

3

$3$ per

- 1

$- 1$ .

tan (\frac{20 π - 3 π}{12})

$\tan (\frac{20 π - 3 π}{12})$

Passaggio 5.3

Sottrai

3 π

$3 π$ da

20 π

$20 π$ .

tan (\frac{17 π}{12})

$\tan (\frac{17 π}{12})$

tan (\frac{17 π}{12})

$\tan (\frac{17 π}{12})$

Passaggio 6

Il valore esatto di

tan (\frac{17 π}{12})

$\tan (\frac{17 π}{12})$ è

\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}

$\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi

\frac{17 π}{12}

$\frac{17 π}{12}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per

2

$2$ .

tan (\frac{\frac{17 π}{6}}{2})

$\tan (\frac{\frac{17 π}{6}}{2})$

Passaggio 6.2

Applica la formula di bisezione per la tangente.

\pm \sqrt{\frac{1 - cos (\frac{17 π}{6})}{1 + cos (\frac{17 π}{6})}}

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Passaggio 6.3

Change the

\pm

$\pm$ to

+

$+$ because tangent is positive in the third quadrant.

\sqrt{\frac{1 - cos (\frac{17 π}{6})}{1 + cos (\frac{17 π}{6})}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Passaggio 6.4

Semplifica

\sqrt{\frac{1 - cos (\frac{17 π}{6})}{1 + cos (\frac{17 π}{6})}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sottrai delle rotazioni complete di

2 π

$2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a

0

$0$ e minore di

2 π

$2 π$ .

\sqrt{\frac{1 - cos (\frac{5 π}{6})}{1 + cos (\frac{17 π}{6})}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Passaggio 6.4.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

\sqrt{\frac{1 - - cos (\frac{π}{6})}{1 + cos (\frac{17 π}{6})}}

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Passaggio 6.4.3

Il valore esatto di

cos (\frac{π}{6})

$\cos (\frac{π}{6})$ è

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + cos (\frac{17 π}{6})}}

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Passaggio 6.4.4

Moltiplica

- - \frac{\sqrt{3}}{2}

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + cos (\frac{17 π}{6})}}

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Passaggio 6.4.4.2

Moltiplica

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ per

1

$1$ .

\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + cos (\frac{17 π}{6})}}

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + cos (\frac{17 π}{6})}}

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Passaggio 6.4.5

Scrivi

1

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + cos (\frac{17 π}{6})}}

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Passaggio 6.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + cos (\frac{17 π}{6})}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Passaggio 6.4.7

Sottrai delle rotazioni complete di

2 π

$2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a

0

$0$ e minore di

2 π

$2 π$ .

\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + cos (\frac{5 π}{6})}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{6})}}$

Passaggio 6.4.8

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - cos (\frac{π}{6})}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}}$

Passaggio 6.4.9

Il valore esatto di

cos (\frac{π}{6})

$\cos (\frac{π}{6})$ è

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Passaggio 6.4.10

Scrivi

1

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Passaggio 6.4.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}}$

Passaggio 6.4.12

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

Passaggio 6.4.13

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.13.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

Passaggio 6.4.13.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}}$

Passaggio 6.4.14

Moltiplica

$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ per

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})}$

Passaggio 6.4.15

Moltiplica

$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ per

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}$

Passaggio 6.4.16

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Passaggio 6.4.17

Semplifica.

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}}$

Passaggio 6.4.18

Dividi

$2 + \sqrt{3}$ per

$1$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}$

Passaggio 6.4.19

Espandi

$(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.19.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

Passaggio 6.4.19.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

Passaggio 6.4.19.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.4.20

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.20.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.20.1.1

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.4.20.1.2

Sposta

$2$ alla sinistra di

$\sqrt{3}$ .

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.4.20.1.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Passaggio 6.4.20.1.4

Moltiplica

$3$ per

$3$ .

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

Passaggio 6.4.20.1.5

Riscrivi

$9$ come

$3^{2}$ .

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

Passaggio 6.4.20.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Passaggio 6.4.20.2

Somma

$4$ e

$3$ .

$\sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

Passaggio 6.4.20.3

Somma

$2 \sqrt{3}$ e

$2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

Forma decimale:

$3.73205080 \dots$