Trigonometria Esempi

$\tan (105)$

Passaggio 1

Per prima cosa, dividi l'angolo in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti. In questo caso, $105$ può essere diviso in $45 + 60$ .

$\tan (45 + 60)$

Passaggio 2

Utilizza la formula di addizione per la tangente per semplificare l'espressione. La formula stabilisce che $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (45) + \tan (60)}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Il valore esatto di $\tan (45)$ è $1$ .

$\frac{1 + \tan (60)}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

Passaggio 3.2

Il valore esatto di $\tan (60)$ è $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Il valore esatto di $\tan (45)$ è $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1 \tan (60)}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \tan (60)}$

Passaggio 4.3

Il valore esatto di $\tan (60)$ è $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \sqrt{3}}$

Passaggio 4.4

Riscrivi $- 1 \sqrt{3}$ come $- \sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ per $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ per $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

Passaggio 6.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Eleva $1 + \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 7.2

Eleva $1 + \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Passaggio 7.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Passaggio 7.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Passaggio 8

Riscrivi ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ come $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 9

Espandi $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 10

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 10.1.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

Passaggio 10.1.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

Passaggio 10.1.6

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

Passaggio 10.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Passaggio 10.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 10.3

Somma $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 11

Elimina il fattore comune di $4 + 2 \sqrt{3}$ e $- 2$ .

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Passaggio 11.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 11.2

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 11.3

Scomponi $2$ da $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 11.4

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

Passaggio 12

Riscrivi $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ come $- (2 + \sqrt{3})$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

Passaggio 13

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 14

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 2 - \sqrt{3}$

Forma decimale:

$- 3.73205080 \dots$