Trigonometria Esempi

${(1 + i)}^{4}$

Passaggio 1

Usa il teorema binomiale.

$1^{4} + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Passaggio 2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 4 \cdot 1 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Passaggio 2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 4 i + 6 \cdot 1 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$1 + 4 i + 6 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Passaggio 2.1.7

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Passaggio 2.1.8

Moltiplica $4$ per $1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 i^{3} + i^{4}$

Passaggio 2.1.9

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (i^{2} \cdot i) + i^{4}$

Passaggio 2.1.10

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (- 1 \cdot i) + i^{4}$

Passaggio 2.1.11

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (- i) + i^{4}$

Passaggio 2.1.12

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + i^{4}$

Passaggio 2.1.13

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.13.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.13.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.1.13.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1$

Passaggio 2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $6$ da $1$ .

$- 5 + 4 i - 4 i + 1$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 5$ e $1$ .

$- 4 + 4 i - 4 i$

Passaggio 2.2.3

Sottrai $4 i$ da $4 i$ .

$- 4 + 0$

Passaggio 2.2.4

Somma $- 4$ e $0$ .

$- 4$

Passaggio 3

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 4

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi di $a = - 4$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 6

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 16}$

Passaggio 6.3

Somma $0$ e $16$ .

$| z | = \sqrt{16}$

Passaggio 6.4

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 6.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 4$

Passaggio 7

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 4})$

Passaggio 8

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{0}{- 4}$ produce un angolo nel secondo quadrante, il valore dell'angolo è $π$ .

$θ = π$

Passaggio 9

Sostituisci i valori di $θ = π$ e $| z | = 4$ .

$4 (\cos (π) + i \sin (π))$