Trigonometria Esempi

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) + \cot (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Passaggio 2

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ per $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 3

Combina.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1

Espandi $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 5.2

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 6

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) + \sin (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 7.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.1.3

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Elimina i fattori comuni.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 8

Ora considera il lato destro dell'equazione.

$\csc (x) + \cot (x)$

Passaggio 9

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 9.1

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)$

Passaggio 9.2

Scrivi $\cot (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 11

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) + \cot (x)$ è un'identità