Trigonometria Esempi

$3 \sin (x) - 3 \cos (x) = 1$

Passaggio 1

Utilizza l'identità per risolvere l'equazione. In questa identità, $θ$ rappresenta l'angolo creato tracciando il punto $(a, b)$ su un grafico e di conseguenza può essere trovato mediante $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ dove $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ e $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Passaggio 2

Imposta l'equazione per trovare il valore di $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $θ$ usando l'inverso della tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Passaggio 3.3

Il valore esatto di $\tan^{-1} (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Passaggio 4

Risolvi per trovare il valore di $R$ .

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Passaggio 4.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$R = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$R = \sqrt{9 + 9}$

Passaggio 4.3

Somma $9$ e $9$ .

$R = \sqrt{18}$

Passaggio 4.4

Riscrivi $18$ come $3^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$R = \sqrt{9 (2)}$

Passaggio 4.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$R = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.5

Estrai i termini dal radicale.

$R = 3 \sqrt{2}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$(3 \sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

Passaggio 6

Dividi per $3 \sqrt{2}$ ciascun termine in $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Dividi per $3 \sqrt{2}$ ciascun termine in $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune di $\sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Dividi $\sin (x - \frac{π}{4})$ per $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 6.3.2

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 6.3.2.2

Sposta $\sqrt{2}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 6.3.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Passaggio 6.3.2.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Passaggio 6.3.2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 6.3.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 6.3.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 6.3.2.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.2.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.2.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{1}}$

Passaggio 6.3.2.7.5

Calcola l'esponente.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{6}$

Passaggio 7

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$

Passaggio 8

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.1

Calcola $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$ .

$x - \frac{π}{4} = 0.23794112$

Passaggio 9

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.1

Somma $\frac{π}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 0.23794112 + \frac{π}{4}$

Passaggio 9.2

Somma $0.23794112$ e $\frac{π}{4}$ .

$x = 1.02333928$

Passaggio 10

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x - \frac{π}{4} = (3.14159265) - 0.23794112$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Sottrai $0.23794112$ da $3.14159265$ .

$x - \frac{π}{4} = 2.90365152$

Passaggio 11.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 11.2.1

Somma $\frac{π}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2.90365152 + \frac{π}{4}$

Passaggio 11.2.2

Somma $2.90365152$ e $\frac{π}{4}$ .

$x = 3.68904969$

Passaggio 12

Trova il periodo di $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

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Passaggio 12.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 12.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 12.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13

Il periodo della funzione $\sin (x - \frac{π}{4})$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.02333928 + 2 π n, 3.68904969 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$