Trigonometria Esempi

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\tan (2 x)$

Passaggio 2

Applica l'identità a doppio angolo della tangente.

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Passaggio 3

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 3.1

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.2

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

$2$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ come ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Passaggio 4.2.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Passaggio 4.2.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Passaggio 4.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Passaggio 4.2.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Passaggio 4.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)}$ per $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}}$

Passaggio 4.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.4.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}}$

Passaggio 4.4.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}}$

Passaggio 4.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}$

Passaggio 4.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Passaggio 4.6

Combina.

$\frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}$

Passaggio 4.7

Elimina il fattore comune di ${\cos (x)}^{2}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Passaggio 5

Riordina i termini.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Passaggio 6

Riscrivi $\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$ come $\frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$ .

$\frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

Passaggio 7

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$ è un'identità