Trigonometria Esempi

\frac{sin (x)}{1 + cos (x)} + \frac{1 + cos (x)}{sin (x)} = 2 csc (x)

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} = 2 \csc (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

\frac{sin (x)}{1 + cos (x)} + \frac{1 + cos (x)}{sin (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per scrivere

\frac{sin (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{sin (x)}{sin (x)}

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

\frac{sin (x)}{1 + cos (x)} \cdot \frac{sin (x)}{sin (x)} + \frac{1 + cos (x)}{sin (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.2

Per scrivere

\frac{1 + cos (x)}{sin (x)}

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{1 + cos (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

\frac{sin (x)}{1 + cos (x)} \cdot \frac{sin (x)}{sin (x)} + \frac{1 + cos (x)}{sin (x)} \cdot \frac{1 + cos (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di

$(1 + \cos (x)) \sin (x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ per

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ per

$\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di

$(1 + \cos (x)) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica

$\sin (x) \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva

$\sin (x)$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.1.2

Eleva

$\sin (x)$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.1.4

Somma

$1$ e

$1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.2

Espandi

$(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 (1 + \cos (x)) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Moltiplica

$1$ per

$1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Moltiplica

$\cos (x)$ per

$1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.3.1.3

Moltiplica

$\cos (x)$ per

$1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.3.1.4

Moltiplica

$\cos (x) \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1

Eleva

$\cos (x)$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.3.1.4.2

Eleva

$\cos (x)$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.3.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.3.1.4.4

Somma

$1$ e

$1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.3.2

Somma

$\cos (x)$ e

$\cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.4

Riscrivi

$\sin^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Raggruppa i termini.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.4.2

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{1 + 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.4.3

Somma

$1$ e

$1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.4.4

Scomponi

$2$ da

$2 + 2 \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.4.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.5.4.4.2

Scomponi

$2$ da

$2 \cdot 1 + 2 \cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di

$1 + \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{\sin (x)}$

Passaggio 3

Riscrivi

$\frac{2}{\sin (x)}$ come

$2 \csc (x)$ .

$2 \csc (x)$

Passaggio 4

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} = 2 \csc (x)$ è un'identità