Trigonometria Esempi

$\sec (\arcsin (u))$

Passaggio 1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ , $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\arcsin (u)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ . Perciò, $\sec (\arcsin (u))$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$

Passaggio 2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = u$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Passaggio 4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Passaggio 4.2

Eleva $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Passaggio 4.3

Eleva $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} {\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1}}$

Passaggio 4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

Passaggio 4.6

Riscrivi ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ come $(1 + u) (1 - u)$ .

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Passaggio 4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ come ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{1}}$

Passaggio 4.6.5

Semplifica.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$