Trigonometria Esempi

sin (2 x) - sin (x) = 0

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

2 sin (x) cos (x) - sin (x) = 0

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 2

Scomponi

sin (x)

$\sin (x)$ da

2 sin (x) cos (x) - sin (x)

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi

sin (x)

$\sin (x)$ da

2 sin (x) cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x)$ .

sin (x) (2 cos (x)) - sin (x) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi

sin (x)

$\sin (x)$ da

- sin (x)

$- \sin (x)$ .

sin (x) (2 cos (x)) + sin (x) \cdot - 1 = 0

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi

sin (x)

$\sin (x)$ da

sin (x) (2 cos (x)) + sin (x) \cdot - 1

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

sin (x) (2 cos (x) - 1) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

sin (x) (2 cos (x) - 1) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

2 cos (x) - 1 = 0

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 4

Imposta

sin (x)

$\sin (x)$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta

sin (x)

$\sin (x)$ uguale a

0

$0$ .

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Trova il valore dell'incognita

x

$x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

x = arcsin (0)

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Il valore esatto di

arcsin (0)

$\arcsin (0)$ è

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Passaggio 4.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

π

$π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

x = π - 0

$x = π - 0$

Passaggio 4.2.4

Sottrai

0

$0$ da

π

$π$ .

x = π

$x = π$

Passaggio 4.2.5

Trova il periodo di

sin (x)

$\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.5.2

Sostituisci

b

$b$ con

1

$1$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.5.4

Dividi

2 π

$2 π$ per

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Passaggio 4.2.6

Il periodo della funzione

sin (x)

$\sin (x)$ è

2 π

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

2 π

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 5

Imposta

2 cos (x) - 1

$2 \cos (x) - 1$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta

2 cos (x) - 1

$2 \cos (x) - 1$ uguale a

0

$0$ .

2 cos (x) - 1 = 0

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi

2 cos (x) - 1 = 0

$2 \cos (x) - 1 = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma

1

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

2 cos (x) = 1

$2 \cos (x) = 1$

Passaggio 5.2.2

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 cos (x) = 1

$2 \cos (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 cos (x) = 1

$2 \cos (x) = 1$ .

\frac{2 cos (x)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi

$\cos (x)$ per

$1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3

Trova il valore dell'incognita

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Il valore esatto di

$\arccos (\frac{1}{2})$ è

$\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2.6

Semplifica

$2 π - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Per scrivere

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.1

$2 π$ e

$\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 5.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.3.1

Moltiplica

$3$ per

$2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 5.2.6.3.2

Sottrai

$π$ da

$6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 5.2.7

Trova il periodo di

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.7.2

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.7.4

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.8

Il periodo della funzione

$\cos (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 7

Combina

$2 π n$ e

$π + 2 π n$ in

$π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$