Trigonometria Esempi

tan (112.5)

$\tan (112.5)$

Passaggio 1

Riscrivi

112.5

$112.5$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per

2

$2$ .

tan (\frac{225}{2})

$\tan (\frac{225}{2})$

Passaggio 2

Applica la formula di bisezione per la tangente.

\pm \sqrt{\frac{1 - cos (225)}{1 + cos (225)}}

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$

Passaggio 3

Change the

\pm

$\pm$ to

-

$-$ because tangent is negative in the second quadrant.

- \sqrt{\frac{1 - cos (225)}{1 + cos (225)}}

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$

Passaggio 4

Semplifica

- \sqrt{\frac{1 - cos (225)}{1 + cos (225)}}

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

- \sqrt{\frac{1 - - cos (45)}{1 + cos (225)}}

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}}$

Passaggio 4.2

Il valore esatto di

cos (45)

$\cos (45)$ è

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + cos (225)}}

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica

- - \frac{\sqrt{2}}{2}

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + cos (225)}}

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ per

1

$1$ .

- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + cos (225)}}

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + cos (225)}}

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Passaggio 4.4

Scrivi

1

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + cos (225)}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + cos (225)}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Passaggio 4.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - cos (45)}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}$

Passaggio 4.7

Il valore esatto di

cos (45)

$\cos (45)$ è

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 4.8

Scrivi

1

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 4.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 4.10

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Passaggio 4.11

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Elimina il fattore comune.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Passaggio 4.11.2

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}$

Passaggio 4.12

Moltiplica

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ per

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}$

Passaggio 4.13

Moltiplica

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ per

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Passaggio 4.14

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Passaggio 4.15

Semplifica.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.16

Applica la proprietà distributiva.

$- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.17

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.1

Elimina il fattore comune.

$- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.17.2

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.18

$\sqrt{2}$ e

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Passaggio 4.19

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.19.2

Sposta

$2$ alla sinistra di

$\sqrt{2}$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.19.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Passaggio 4.19.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.4.1

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Passaggio 4.19.4.2

Riscrivi

$4$ come

$2^{2}$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Passaggio 4.19.4.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Passaggio 4.19.5

Elimina il fattore comune di

$2 \sqrt{2} + 2$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.5.1

Scomponi

$2$ da

$2 \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}$

Passaggio 4.19.5.2

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}$

Passaggio 4.19.5.3

Scomponi

$2$ da

$2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}$

Passaggio 4.19.5.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.5.4.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}$

Passaggio 4.19.5.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}$

Passaggio 4.19.5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}$

Passaggio 4.19.5.4.4

Dividi

$\sqrt{2} + 1$ per

$1$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}$

Passaggio 4.20

Somma

$2$ e

$1$ .

$- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}$

Passaggio 4.21

Somma

$\sqrt{2}$ e

$\sqrt{2}$ .

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Forma decimale:

$- 2.41421356 \dots$