Trigonometria Esempi

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 = - 8 \sin (θ) + 6$

Passaggio 1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $8 \sin (θ)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) = 6$

Passaggio 1.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) - 6 = 0$

Passaggio 2

Semplifica $9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Somma $- 24 \sin (θ)$ e $8 \sin (θ)$ .

$9 \cos^{2} (θ) - 10 - 16 \sin (θ) - 6 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $6$ da $- 10$ .

$9 \cos^{2} (θ) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Passaggio 3

Sostituisci $9 \cos^{2} (θ)$ con $9 (1 - \sin^{2} (θ))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$9 (1 - \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 \cdot 1 + 9 (- \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Passaggio 4.2

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9 + 9 (- \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$9 - 9 \sin^{2} (θ) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Passaggio 5

Sottrai $16$ da $9$ .

$- 9 \sin^{2} (θ) - 7 - 16 \sin (θ) = 0$

Passaggio 6

Riordina il polinomio.

$- 9 \sin^{2} (θ) - 16 \sin (θ) - 7 = 0$

Passaggio 7

Sostituisci $u$ a $\sin (θ)$ .

$- 9 {(u)}^{2} - 16 u - 7 = 0$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi $- 1$ da $- 9 u^{2} - 16 u - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 9 u^{2}$ .

$- (9 u^{2}) - 16 u - 7 = 0$

Passaggio 8.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 16 u$ .

$- (9 u^{2}) - (16 u) - 7 = 0$

Passaggio 8.1.3

Riscrivi $- 7$ come $- 1 (7)$ .

$- (9 u^{2}) - (16 u) - 1 \cdot 7 = 0$

Passaggio 8.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (9 u^{2}) - (16 u)$ .

$- (9 u^{2} + 16 u) - 1 \cdot 7 = 0$

Passaggio 8.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (9 u^{2} + 16 u) - 1 (7)$ .

$- (9 u^{2} + 16 u + 7) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 9 \cdot 7 = 63$ e la cui somma è $b = 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Scomponi $16$ da $16 u$ .

$- (9 u^{2} + 16 u + 7) = 0$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi $16$ come $7$ più $9$ .

$- (9 u^{2} + (7 + 9) u + 7) = 0$

Passaggio 8.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (9 u^{2} + 7 u + 9 u + 7) = 0$

Passaggio 8.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- (9 u^{2} + 7 u + 9 u + 7) = 0$

Passaggio 8.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- (u (9 u + 7) + 1 (9 u + 7)) = 0$

Passaggio 8.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $9 u + 7$ .

$- ((9 u + 7) (u + 1)) = 0$

Passaggio 8.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (9 u + 7) (u + 1) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$9 u + 7 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 10

Imposta $9 u + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta $9 u + 7$ uguale a $0$ .

$9 u + 7 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $9 u + 7 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 u = - 7$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 u = - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 u = - 7$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 7}{9}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 7}{9}$

Passaggio 10.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 7}{9}$

Passaggio 10.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{7}{9}$

Passaggio 11

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 11.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (9 u + 7) (u + 1) = 0$ vera.

$u = - \frac{7}{9}, - 1$

Passaggio 13

Sostituisci $\sin (θ)$ a $u$ .

$\sin (θ) = - \frac{7}{9}, - 1$

Passaggio 14

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $θ$ .

$\sin (θ) = - \frac{7}{9}$

$\sin (θ) = - 1$

Passaggio 15

Risolvi per $θ$ in $\sin (θ) = - \frac{7}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (- \frac{7}{9})$

Passaggio 15.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Calcola $\arcsin (- \frac{7}{9})$ .

$θ = - 51.05755873$

Passaggio 15.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $360$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $180$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 360 + 51.05755873 + 180$

Passaggio 15.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sottrai $360 °$ da $360 + 51.05755873 + 180 °$ .

$θ = 360 + 51.05755873 + 180 ° - 360 °$

Passaggio 15.4.2

L'angolo risultante di $231.05755873 °$ è positivo, minore di $360 °$ e coterminale con $360 + 51.05755873 + 180$ .

$θ = 231.05755873 °$

Passaggio 15.5

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 15.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 15.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 15.5.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 15.6

Somma $360$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.1

Somma $360$ a $- 51.05755873$ per trovare l'angolo positivo.

$- 51.05755873 + 360$

Passaggio 15.6.2

Sottrai $51.05755873$ da $360$ .

$308.94244126$

Passaggio 15.6.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = 308.94244126$

Passaggio 15.7

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 16

Risolvi per $θ$ in $\sin (θ) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (- 1)$

Passaggio 16.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- 90$ .

$θ = - 90$

Passaggio 16.3

$θ = 360 + 90 + 180$

Passaggio 16.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Sottrai $360 °$ da $360 + 90 + 180 °$ .

$θ = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

Passaggio 16.4.2

L'angolo risultante di $270 °$ è positivo, minore di $360 °$ e coterminale con $360 + 90 + 180$ .

$θ = 270 °$

Passaggio 16.5

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 16.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 16.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 16.5.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 16.6

Somma $360$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.6.1

Somma $360$ a $- 90$ per trovare l'angolo positivo.

$- 90 + 360$

Passaggio 16.6.2

Sottrai $90$ da $360$ .

$270$

Passaggio 16.6.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = 270$

Passaggio 16.7

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 17

Elenca tutte le soluzioni.

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n, 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 18

Combina $270 + 360 n$ e $270 + 360 n$ in $270 + 360 n$ .

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n, 270 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$