Trigonometria Esempi

\sin (2 x) = \sqrt{2} \sin (x)

$\sin (2 x) = \sqrt{2} \sin (x)$

Passaggio 1

Sottrai

\sqrt{2} \sin (x)

$\sqrt{2} \sin (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

\sin (2 x) - \sqrt{2} \sin (x) = 0

$\sin (2 x) - \sqrt{2} \sin (x) = 0$

Passaggio 2

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \sin (x) = 0

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \sin (x) = 0$

Passaggio 3

Scomponi

\sin (x)

$\sin (x)$ da

2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \sin (x)

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi

\sin (x)

$\sin (x)$ da

2 \sin (x) \cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x)$ .

\sin (x) (2 \cos (x)) - \sqrt{2} \sin (x) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sqrt{2} \sin (x) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi

\sin (x)

$\sin (x)$ da

- \sqrt{2} \sin (x)

$- \sqrt{2} \sin (x)$ .

\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) (- \sqrt{2}) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) (- \sqrt{2}) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi

\sin (x)

$\sin (x)$ da

\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) (- \sqrt{2})

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) (- \sqrt{2})$ .

\sin (x) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$

\sin (x) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Passaggio 5

Imposta

\sin (x)

$\sin (x)$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta

\sin (x)

$\sin (x)$ uguale a

0

$0$ .

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita

x

$x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

x = \arcsin (0)

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di

\arcsin (0)

$\arcsin (0)$ è

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Passaggio 5.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

π

$π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

x = π - 0

$x = π - 0$

Passaggio 5.2.4

Sottrai

0

$0$ da

π

$π$ .

x = π

$x = π$

Passaggio 5.2.5

Trova il periodo di

\sin (x)

$\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.2

Sostituisci

b

$b$ con

1

$1$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.5.4

Dividi

2 π

$2 π$ per

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Passaggio 5.2.6

Il periodo della funzione

\sin (x)

$\sin (x)$ è

2 π

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

2 π

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 6

Imposta

2 \cos (x) - \sqrt{2}

$2 \cos (x) - \sqrt{2}$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta

2 \cos (x) - \sqrt{2}

$2 \cos (x) - \sqrt{2}$ uguale a

0

$0$ .

2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi

2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

2 \cos (x) = \sqrt{2}

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

Passaggio 6.2.2

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 \cos (x) = \sqrt{2}

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 \cos (x) = \sqrt{2}

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$ .

\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi

\cos (x)

$\cos (x)$ per

1

$1$ .

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.2.3

Trova il valore dell'incognita

x

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 6.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Il valore esatto di

\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

2 π

$2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

x = 2 π - \frac{π}{4}

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.6

Semplifica

2 π - \frac{π}{4}

$2 π - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Per scrivere

2 π

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.2.1

2 π

$2 π$ e

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 6.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.3.1

Moltiplica

4

$4$ per

2

$2$ .

x = \frac{8 π - π}{4}

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 6.2.6.3.2

Sottrai

π

$π$ da

8 π

$8 π$ .

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 6.2.7

Trova il periodo di

\cos (x)

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.7.2

Sostituisci

b

$b$ con

1

$1$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.7.4

Dividi

2 π

$2 π$ per

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Passaggio 6.2.8

Il periodo della funzione

\cos (x)

$\cos (x)$ è

2 π

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

2 π

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

\sin (x) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$ vera.

x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 8

Combina

2 π n

$2 π n$ e

π + 2 π n

$π + 2 π n$ in

π n

$π n$ .

x = π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$