Trigonometria Esempi

{csc}^{2} (x) + csc (x) = 2

$\csc^{2} (x) + \csc (x) = 2$

Passaggio 1

Sottrai

2

$2$ da entrambi i lati dell'equazione.

{csc}^{2} (x) + csc (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) + \csc (x) - 2 = 0$

Passaggio 2

Scomponi

{csc}^{2} (x) + csc (x) - 2

$\csc^{2} (x) + \csc (x) - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Considera la forma

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è

c

$c$ e la cui formula è

b

$b$ . In questo caso, il cui prodotto è

- 2

$- 2$ e la cui somma è

1

$1$ .

- 1, 2

$- 1, 2$

Passaggio 2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

(csc (x) - 1) (csc (x) + 2) = 0

$(\csc (x) - 1) (\csc (x) + 2) = 0$

(csc (x) - 1) (csc (x) + 2) = 0

$(\csc (x) - 1) (\csc (x) + 2) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

csc (x) - 1 = 0

$\csc (x) - 1 = 0$

csc (x) + 2 = 0

$\csc (x) + 2 = 0$

Passaggio 4

Imposta

csc (x) - 1

$\csc (x) - 1$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta

csc (x) - 1

$\csc (x) - 1$ uguale a

0

$0$ .

csc (x) - 1 = 0

$\csc (x) - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi

csc (x) - 1 = 0

$\csc (x) - 1 = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma

1

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

csc (x) = 1

$\csc (x) = 1$

Passaggio 4.2.2

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre

x

$x$ dalla cosecante.

x = arccsc (1)

$x = arccsc (1)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Il valore esatto di

arccsc (1)

$arccsc (1)$ è

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.4

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

π

$π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

x = π - \frac{π}{2}

$x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica

π - \frac{π}{2}

$π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Per scrivere

π

$π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.5.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.2.1

π

$π$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 4.2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.3.1

Sposta

2

$2$ alla sinistra di

π

$π$ .

x = \frac{2 \cdot π - π}{2}

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 4.2.5.3.2

Sottrai

π

$π$ da

2 π

$2 π$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di

csc (x)

$\csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci

b

$b$ con

1

$1$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi

2 π

$2 π$ per

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Passaggio 4.2.7

Il periodo della funzione

csc (x)

$\csc (x)$ è

2 π

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

2 π

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 5

Imposta

csc (x) + 2

$\csc (x) + 2$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta

csc (x) + 2

$\csc (x) + 2$ uguale a

0

$0$ .

csc (x) + 2 = 0

$\csc (x) + 2 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi

csc (x) + 2 = 0

$\csc (x) + 2 = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai

2

$2$ da entrambi i lati dell'equazione.

csc (x) = - 2

$\csc (x) = - 2$

Passaggio 5.2.2

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre

x

$x$ dalla cosecante.

x = arccsc (- 2)

$x = arccsc (- 2)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Il valore esatto di

arccsc (- 2)

$arccsc (- 2)$ è

- \frac{π}{6}

$- \frac{π}{6}$ .

x = - \frac{π}{6}

$x = - \frac{π}{6}$

x = - \frac{π}{6}

$x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 5.2.4

La funzione della cosecante è negativa nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da

2 π

$2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a

π

$π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

x = 2 π + \frac{π}{6} + π

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 5.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Sottrai

2 π

$2 π$ da

2 π + \frac{π}{6} + π

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 5.2.5.2

L'angolo risultante di

\frac{7 π}{6}

$\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di

2 π

$2 π$ e coterminale con

2 π + \frac{π}{6} + π

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 5.2.6

Trova il periodo di

csc (x)

$\csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.6.2

Sostituisci

b

$b$ con

1

$1$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.6.4

Dividi

2 π

$2 π$ per

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Passaggio 5.2.7

Somma

2 π

$2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Somma

2 π

$2 π$ a

- \frac{π}{6}

$- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

- \frac{π}{6} + 2 π

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Passaggio 5.2.7.2

Per scrivere

2 π

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 5.2.7.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.3.1

2 π

$2 π$ e

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 5.2.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 5.2.7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.4.1

Moltiplica

6

$6$ per

2

$2$ .

\frac{12 π - π}{6}

$\frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 5.2.7.4.2

Sottrai

π

$π$ da

12 π

$12 π$ .

\frac{11 π}{6}

$\frac{11 π}{6}$

\frac{11 π}{6}

$\frac{11 π}{6}$

Passaggio 5.2.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

x = \frac{11 π}{6}

$x = \frac{11 π}{6}$

x = \frac{11 π}{6}

$x = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 5.2.8

Il periodo della funzione

csc (x)

$\csc (x)$ è

2 π

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

2 π

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

(csc (x) - 1) (csc (x) + 2) = 0

$(\csc (x) - 1) (\csc (x) + 2) = 0$ vera.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 7

Consolida le risposte.

x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero

n

$n$