Trigonometria Esempi

2 \sin (x) \cos (x) = \sqrt{2} \cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x) = \sqrt{2} \cos (x)$

Passaggio 1

Sottrai

\sqrt{2} \cos (x)

$\sqrt{2} \cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) = 0

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) = 0$

Passaggio 2

Scomponi

\cos (x)

$\cos (x)$ da

2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi

\cos (x)

$\cos (x)$ da

2 \sin (x) \cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x)$ .

\cos (x) (2 \sin (x)) - \sqrt{2} \cos (x) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x)) - \sqrt{2} \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi

\cos (x)

$\cos (x)$ da

- \sqrt{2} \cos (x)

$- \sqrt{2} \cos (x)$ .

\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{2}) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{2}) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi

\cos (x)

$\cos (x)$ da

\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{2})

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{2})$ .

\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0$

\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0

$2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$

Passaggio 4

Imposta

\cos (x)

$\cos (x)$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta

\cos (x)

$\cos (x)$ uguale a

0

$0$ .

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Trova il valore dell'incognita

x

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

x = \arccos (0)

$x = \arccos (0)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Il valore esatto di

\arccos (0)

$\arccos (0)$ è

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

2 π

$2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

x = 2 π - \frac{π}{2}

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica

2 π - \frac{π}{2}

$2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Per scrivere

2 π

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

2 π

$2 π$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 4.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.3.1

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

x = \frac{4 π - π}{2}

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 4.2.4.3.2

Sottrai

π

$π$ da

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 4.2.5

Trova il periodo di

\cos (x)

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.5.2

Sostituisci

b

$b$ con

1

$1$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.5.4

Dividi

2 π

$2 π$ per

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Passaggio 4.2.6

Il periodo della funzione

\cos (x)

$\cos (x)$ è

2 π

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

2 π

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 5

Imposta

2 \sin (x) - \sqrt{2}

$2 \sin (x) - \sqrt{2}$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta

2 \sin (x) - \sqrt{2}

$2 \sin (x) - \sqrt{2}$ uguale a

0

$0$ .

2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0

$2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi

2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0

$2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

2 \sin (x) = \sqrt{2}

$2 \sin (x) = \sqrt{2}$

Passaggio 5.2.2

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 \sin (x) = \sqrt{2}

$2 \sin (x) = \sqrt{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 \sin (x) = \sqrt{2}

$2 \sin (x) = \sqrt{2}$ .

\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi

\sin (x)

$\sin (x)$ per

1

$1$ .

\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.2.3

Trova il valore dell'incognita

x

$x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Il valore esatto di

\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

π

$π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

x = π - \frac{π}{4}

$x = π - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.6

Semplifica

π - \frac{π}{4}

$π - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Per scrivere

π

$π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.1

π

$π$ e

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 5.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.3.1

Sposta

4

$4$ alla sinistra di

π

$π$ .

x = \frac{4 \cdot π - π}{4}

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 5.2.6.3.2

Sottrai

π

$π$ da

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.7

Trova il periodo di

\sin (x)

$\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.7.2

Sostituisci

b

$b$ con

1

$1$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.7.4

Dividi

2 π

$2 π$ per

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Passaggio 5.2.8

Il periodo della funzione

\sin (x)

$\sin (x)$ è

2 π

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

2 π

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0$ vera.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 7

Combina

\frac{π}{2} + 2 π n

$\frac{π}{2} + 2 π n$ e

\frac{3 π}{2} + 2 π n

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in

\frac{π}{2} + π n

$\frac{π}{2} + π n$ .

x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$