Trigonometria Esempi

$\sec (\frac{3 θ}{2}) = - 2$

Passaggio 1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dall'interno della secante.

$\frac{3 θ}{2} = arcsec (- 2)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $arcsec (- 2)$ è $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{3 θ}{2} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$θ = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Passaggio 5

La funzione secante è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$\frac{3 θ}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6

Risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Passaggio 6.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Passaggio 6.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Passaggio 6.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Passaggio 6.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Passaggio 6.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $\frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2}{3} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2}{3} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Sottrai $2 π$ da $6 π$ .

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.4

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{4 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{3 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.2.1.4.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$θ = \frac{8 π}{3 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.2.1.4.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$θ = \frac{8 π}{9}$

Passaggio 7

Trova il periodo di $\sec (\frac{3 θ}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.2

Sostituisci $b$ con $\frac{3}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Passaggio 7.3

$\frac{3}{2}$ corrisponde approssimativamente a $1.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \frac{2}{3}$

Passaggio 7.5

Moltiplica $2 π \frac{2}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

$\frac{2}{3}$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Passaggio 7.5.3

$\frac{4}{3}$ e $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Passaggio 8

Il periodo della funzione $\sec (\frac{3 θ}{2})$ è $\frac{4 π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{4 π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{4 π}{9} + \frac{4 π n}{3}, \frac{8 π}{9} + \frac{4 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$