Trigonometria Esempi

6 {sin}^{2} (θ) - 17 sin (θ) + 14 = - 4 sin (θ) + 9

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 = - 4 \sin (θ) + 9$

Passaggio 1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma

4 sin (θ)

$4 \sin (θ)$ a entrambi i lati dell'equazione.

6 {sin}^{2} (θ) - 17 sin (θ) + 14 + 4 sin (θ) = 9

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) = 9$

Passaggio 1.2

Sottrai

9

$9$ da entrambi i lati dell'equazione.

6 {sin}^{2} (θ) - 17 sin (θ) + 14 + 4 sin (θ) - 9 = 0

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) - 9 = 0$

6 {sin}^{2} (θ) - 17 sin (θ) + 14 + 4 sin (θ) - 9 = 0

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) - 9 = 0$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Somma

- 17 sin (θ)

$- 17 \sin (θ)$ e

4 sin (θ)

$4 \sin (θ)$ .

6 {sin}^{2} (θ) + 14 - 13 sin (θ) - 9 = 0

$6 \sin^{2} (θ) + 14 - 13 \sin (θ) - 9 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai

9

$9$ da

14

$14$ .

6 {sin}^{2} (θ) + 5 - 13 sin (θ) = 0

$6 \sin^{2} (θ) + 5 - 13 \sin (θ) = 0$

6 {sin}^{2} (θ) + 5 - 13 sin (θ) = 0

$6 \sin^{2} (θ) + 5 - 13 \sin (θ) = 0$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riordina i termini.

6 {sin}^{2} (θ) - 13 sin (θ) + 5 = 0

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Passaggio 3.2

Per un polinomio della forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è

a \cdot c = 6 \cdot 5 = 30

$a \cdot c = 6 \cdot 5 = 30$ e la cui somma è

b = - 13

$b = - 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi

- 13

$- 13$ da

- 13 sin (θ)

$- 13 \sin (θ)$ .

6 {sin}^{2} (θ) - 13 sin (θ) + 5 = 0

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi

- 13

$- 13$ come

- 3

$- 3$ più

- 10

$- 10$ .

6 {sin}^{2} (θ) + (- 3 - 10) sin (θ) + 5 = 0

$6 \sin^{2} (θ) + (- 3 - 10) \sin (θ) + 5 = 0$

Passaggio 3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

6 {sin}^{2} (θ) - 3 sin (θ) - 10 sin (θ) + 5 = 0

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

6 {sin}^{2} (θ) - 3 sin (θ) - 10 sin (θ) + 5 = 0

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Passaggio 3.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

6 {sin}^{2} (θ) - 3 sin (θ) - 10 sin (θ) + 5 = 0

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Passaggio 3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

3 sin (θ) (2 sin (θ) - 1) - 5 (2 sin (θ) - 1) = 0

$3 \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) - 5 (2 \sin (θ) - 1) = 0$

3 sin (θ) (2 sin (θ) - 1) - 5 (2 sin (θ) - 1) = 0

$3 \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) - 5 (2 \sin (θ) - 1) = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore,

2 sin (θ) - 1

$2 \sin (θ) - 1$ .

(2 sin (θ) - 1) (3 sin (θ) - 5) = 0

$(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$

(2 sin (θ) - 1) (3 sin (θ) - 5) = 0

$(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

2 sin (θ) - 1 = 0

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

3 sin (θ) - 5 = 0

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Passaggio 5

Imposta

2 sin (θ) - 1

$2 \sin (θ) - 1$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

θ

$θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta

2 sin (θ) - 1

$2 \sin (θ) - 1$ uguale a

0

$0$ .

2 sin (θ) - 1 = 0

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi

2 sin (θ) - 1 = 0

$2 \sin (θ) - 1 = 0$ per

θ

$θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma

1

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

2 sin (θ) = 1

$2 \sin (θ) = 1$

Passaggio 5.2.2

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 sin (θ) = 1

$2 \sin (θ) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 sin (θ) = 1

$2 \sin (θ) = 1$ .

\frac{2 sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi

$\sin (θ)$ per

$1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3

Trova il valore dell'incognita

$θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Il valore esatto di

$\arcsin (\frac{1}{2})$ è

$30$ .

$θ = 30$

Passaggio 5.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = 180 - 30$

Passaggio 5.2.6

Sottrai

$30$ da

$180$ .

$θ = 150$

Passaggio 5.2.7

Trova il periodo di

$\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 5.2.7.2

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 5.2.7.4

Dividi

$360$ per

$1$ .

$360$

Passaggio 5.2.8

Il periodo della funzione

$\sin (θ)$ è

$360$ , quindi i valori si ripetono ogni

$360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , per qualsiasi intero

$n$

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , per qualsiasi intero

$n$

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 6

Imposta

$3 \sin (θ) - 5$ uguale a

$0$ e risolvi per

$θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta

$3 \sin (θ) - 5$ uguale a

$0$ .

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi

$3 \sin (θ) - 5 = 0$ per

$θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma

$5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 \sin (θ) = 5$

Passaggio 6.2.2

Dividi per

$3$ ciascun termine in

$3 \sin (θ) = 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividi per

$3$ ciascun termine in

$3 \sin (θ) = 5$ .

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi

$\sin (θ)$ per

$1$ .

$\sin (θ) = \frac{5}{3}$

Passaggio 6.2.3

L'intervallo del seno è

$- 1 \leq y \leq 1$ . Poiché

$\frac{5}{3}$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$ vera.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , per qualsiasi intero

$n$