Trigonometria Esempi

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 = - 4 \sin (θ) + 9$

Passaggio 1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Somma $4 \sin (θ)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) = 9$

Passaggio 1.2

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) - 9 = 0$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Somma $- 17 \sin (θ)$ e $4 \sin (θ)$ .

$6 \sin^{2} (θ) + 14 - 13 \sin (θ) - 9 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $9$ da $14$ .

$6 \sin^{2} (θ) + 5 - 13 \sin (θ) = 0$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.1

Riordina i termini.

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Passaggio 3.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 6 \cdot 5 = 30$ e la cui somma è $b = - 13$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $- 13$ da $- 13 \sin (θ)$ .

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $- 13$ come $- 3$ più $- 10$ .

$6 \sin^{2} (θ) + (- 3 - 10) \sin (θ) + 5 = 0$

Passaggio 3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Passaggio 3.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Passaggio 3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$3 \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) - 5 (2 \sin (θ) - 1) = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 \sin (θ) - 1$ .

$(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Passaggio 5

Imposta $2 \sin (θ) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $2 \sin (θ) - 1$ uguale a $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $2 \sin (θ) - 1 = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin (θ) = 1$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (θ) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (θ) = 1$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (θ)$ per $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $30$ .

$θ = 30$

Passaggio 5.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = 180 - 30$

Passaggio 5.2.6

Sottrai $30$ da $180$ .

$θ = 150$

Passaggio 5.2.7

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

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Passaggio 5.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 5.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 5.2.7.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 5.2.8

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $3 \sin (θ) - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $3 \sin (θ) - 5$ uguale a $0$ .

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $3 \sin (θ) - 5 = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 6.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 \sin (θ) = 5$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \sin (θ) = 5$ e semplifica.

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Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \sin (θ) = 5$ .

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (θ)$ per $1$ .

$\sin (θ) = \frac{5}{3}$

Passaggio 6.2.3

L'intervallo del seno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Poiché $\frac{5}{3}$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$ vera.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$