Trigonometria Esempi

$2 \cot (x) \csc (x) = \frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

Passaggio 2

Somma le frazioni.

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ per $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ per $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sec (x) + 1 + \sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Somma $\sec (x)$ e $\sec (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) + 1 - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{2 \sec (x) + 0}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Passaggio 3.3

Somma $2 \sec (x)$ e $0$ .

$\frac{2 \sec (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Espandi $(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) (\sec (x) - 1) + 1 (\sec (x) - 1)}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 (\sec (x) - 1)}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec^{2} (x) - 1}$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{2 \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 6

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 6.1

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 6.2

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno usando l'identità quoziente.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Passaggio 6.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.2

$2$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.3

Combina.

$\frac{2 {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.4

Elimina il fattore comune di ${\cos (x)}^{2}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 8

Riscrivi $\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ come $2 \cot (x) \csc (x)$ .

$2 \cot (x) \csc (x)$

Passaggio 9

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 \cot (x) \csc (x) = \frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$ è un'identità