Trigonometria Esempi

$x^{3} - 2 = (x - \sqrt[3]{2}) (x^{2} + \sqrt[3]{2} x + \sqrt[3]{4})$

Passaggio 1

Espandi $(x - \sqrt[3]{2}) (x^{2} + \sqrt[3]{2} x + \sqrt[3]{4})$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{3} - 2 = x \cdot x^{2} + x (\sqrt[3]{2} x) + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} - 2 = x^{1} x^{2} + x (\sqrt[3]{2} x) + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Passaggio 2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3} - 2 = x^{1 + 2} + x (\sqrt[3]{2} x) + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Passaggio 2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + x (\sqrt[3]{2} x) + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x \cdot x + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1

Sposta $x$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} (x \cdot x) + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $- \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x)$ .

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Passaggio 2.4.1

Eleva $\sqrt[3]{2}$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - ({\sqrt[3]{2}}^{1} \sqrt[3]{2}) x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Passaggio 2.4.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - ({\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{1}) x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Passaggio 2.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - {\sqrt[3]{2}}^{1 + 1} x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Passaggio 2.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - {\sqrt[3]{2}}^{2} x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Passaggio 2.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ come $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2^{2}} x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Passaggio 2.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$ .

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Passaggio 2.7.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - \sqrt[3]{4 \cdot 2}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - \sqrt[3]{8}$

Passaggio 2.8

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - \sqrt[3]{2^{3}}$

Passaggio 2.9

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.10

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - 2$

Passaggio 3

Combina i termini opposti in $x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - 2$ .

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Passaggio 3.1

Sottrai $\sqrt[3]{2} x^{2}$ da $\sqrt[3]{2} x^{2}$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + x \sqrt[3]{4} + 0 - \sqrt[3]{4} x - 2$

Passaggio 3.2

Somma $x^{3} + x \sqrt[3]{4}$ e $0$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} x - 2$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori nei termini di $x \sqrt[3]{4}$ e $- \sqrt[3]{4} x$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + x \sqrt[3]{4} - x \sqrt[3]{4} - 2$

Passaggio 3.4

Sottrai $x \sqrt[3]{4}$ da $x \sqrt[3]{4}$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + 0 - 2$

Passaggio 3.5

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} - 2$

Passaggio 4

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$x^{3} - 2 = (x - \sqrt[3]{2}) (x^{2} + \sqrt[3]{2} x + \sqrt[3]{4})$ è un'identità.