Trigonometria Esempi

$\csc^{2} (θ) - 4 = 0$

Passaggio 1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\csc^{2} (θ) = 4$

Passaggio 2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\csc (θ) = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 3

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\csc (θ) = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\csc (θ) = \pm 2$

Passaggio 4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\csc (θ) = 2$

Passaggio 4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\csc (θ) = - 2$

Passaggio 4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\csc (θ) = 2, - 2$

Passaggio 5

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $θ$ .

$\csc (θ) = 2$

$\csc (θ) = - 2$

Passaggio 6

Risolvi per $θ$ in $\csc (θ) = 2$ .

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Passaggio 6.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dalla cosecante.

$θ = arccsc (2)$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.2.1

Il valore esatto di $arccsc (2)$ è $30$ .

$θ = 30$

Passaggio 6.3

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = 180 - 30$

Passaggio 6.4

Sottrai $30$ da $180$ .

$θ = 150$

Passaggio 6.5

Trova il periodo di $\csc (θ)$ .

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Passaggio 6.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 6.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 6.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 6.5.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 6.6

Il periodo della funzione $\csc (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Risolvi per $θ$ in $\csc (θ) = - 2$ .

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Passaggio 7.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dalla cosecante.

$θ = arccsc (- 2)$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.2.1

Il valore esatto di $arccsc (- 2)$ è $- 30$ .

$θ = - 30$

Passaggio 7.3

La funzione della cosecante è negativa nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $360$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $180$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 360 + 30 + 180$

Passaggio 7.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 7.4.1

Sottrai $360 °$ da $360 + 30 + 180 °$ .

$θ = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

Passaggio 7.4.2

L'angolo risultante di $210 °$ è positivo, minore di $360 °$ e coterminale con $360 + 30 + 180$ .

$θ = 210 °$

Passaggio 7.5

Trova il periodo di $\csc (θ)$ .

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Passaggio 7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 7.5.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 7.6

Somma $360$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 7.6.1

Somma $360$ a $- 30$ per trovare l'angolo positivo.

$- 30 + 360$

Passaggio 7.6.2

Sottrai $30$ da $360$ .

$330$

Passaggio 7.6.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = 330$

Passaggio 7.7

Il periodo della funzione $\csc (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Elenca tutte le soluzioni.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Consolida le soluzioni.

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Passaggio 9.1

Combina $30 + 360 n$ e $210 + 360 n$ in $30 + 180 n$ .

$θ = 30 + 180 n, 150 + 360 n, 330 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9.2

Combina $150 + 360 n$ e $330 + 360 n$ in $150 + 180 n$ .

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$