Trigonometria Esempi

$\frac{\sqrt{2}}{2} \csc (x) - 1 = 0$

Passaggio 1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\csc (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Passaggio 2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = 1$

Passaggio 3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Passaggio 4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.1.1

Semplifica $\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $\sqrt{2}$ .

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Passaggio 4.1.1.2.1

Scomponi $\sqrt{2}$ da $\sqrt{2} \csc (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica $\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.2

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 4.2.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.3.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\csc (x) = \sqrt{2} \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\csc (x) = \sqrt{2}$

Passaggio 5

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (\sqrt{2})$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.1

Il valore esatto di $arccsc (\sqrt{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 7

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{4}$

Passaggio 8

Semplifica $π - \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 8.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 8.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 8.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 8.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 9

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

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Passaggio 9.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 9.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 9.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 9.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 10

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$