Trigonometria Esempi

$\frac{\sin (θ)}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)} = \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\sin (θ)}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Passaggio 2

Combina.

$\frac{\sin (θ) (1 - \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\sin (θ)$ per $1$ .

$\frac{\sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori in $\sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ))$ .

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Espandi $(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{1 (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))}$

Passaggio 4.2

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{1 - \cos^{2} (θ)}$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Scomponi $\sin (θ)$ da $\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)$ .

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Passaggio 6.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 - \sin (θ) \cos (θ)}{{\sin (θ)}^{2}}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $\sin (θ)$ da $- \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- \cos (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $\sin (θ)$ da $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- \cos (θ))$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - \cos (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Elimina i fattori comuni.

$\frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 7

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\sin (θ)}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)} = \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)}$ è un'identità